Насосы

Задача 1.

В сосуд вместимостью $V$ при помощи насоса с объемом рабочей камеры $V_0$ нагнетают воздух. Каким будет давление в сосуде после $n$ качаний насоса? Атмосферное давление $p_0$, изменением температуры пренебречь.

Решение. Мы закачиваем воздух в сосуд, то есть увеличиваем количество вещества в нем. Сначала в сосуде атмосферное давление, потом – больше. Сначала количество вещества $\nu_0$:

$$\nu_0=\frac{p_0V}{RT}$$

В насос попадает количество вещества

$$\nu_1=\frac{p_0V_0}{RT}$$

И так $n$ раз.

В итоге в сосуде следующее количество вещества:

$$\nu_0+n\cdot \nu_1=\frac{p_0V}{RT}+n\cdot\frac{p_0V_0}{RT}$$

Давление в сосуде станет равно

$$p=\frac{(\nu_0+ n\cdot \nu_1)RT}{V}=\frac{p_0(V+nV_0)}{V}$$

Ответ: $p=\frac{p_0(V+nV_0)}{V}$.

Задача 2. Из сосуда вместимостью $V$ откачивают воздух при помощи насоса с объемом рабочей камеры $V_0$. Каким будет давление воздуха в сосуде после $n$ качаний насоса? Атмосферное давление $p_0$, вначале сосуд сообщался с атмосферой. Изменением температуры пренебречь.

Решение. Сначала объем сосуда $V$, а потом к нему присоединяют насос  и объем увеличивается на $V_0$, становится равным $V+V_0$. Процесс изотермический. Вначале сосуд сообщается с атмосферой и давление в нем $p_0$, после хода насоса

$$p_x(V+V_0)=p_0V$$

$$p_x=\frac{p_0V}{V+V_0}$$

Так как процесс повторяется $n$ раз, то окончательное давление $p=p_0\left(\frac{V}{V+V_0}\right)^n$.

Ответ: $p=p_0\left(\frac{V}{V+V_0}\right)^n$.

Задача 3.

Из сосуда вместимостью $V$ сначала откачивают воздух, делая $n$ качаний насоса  с объемом рабочей камеры $V_0$. Затем тот же насос переводят в режим нагнетания и делают $n$ качаний, захватывая воздух из атмосферы. Считая, что начальное давление в сосуде равно атмосферному $p_0$ и что температура воздуха не меняется, найдите изменение массы воздуха в сосуде в результате проведения указанных операций.

Решение. Сначала откачивают воздух, смотрим на предыдущую задачу, давление станет равно

$$p_1=p_0\left(\frac{V}{V+V_0}\right)^n$$

Для начального состояния сосуда можно записать

$$p_0V=\frac{m_0}{M}RT$$

$$m_0=\frac{p_0VM}{RT}$$

Когда воздух откачали, осталось следующее количество вещества в сосуде:

$$p_1V=\nu_1RT$$

$$\nu_1=\frac{p_1V}{RT}$$

Масса воздуха, оставшегося в сосуде

$$m_1=\frac{p_1VM}{RT}$$

После уменьшения объема воздух начинают нагнетать, поэтому с каждым ходом насоса количество вещества увеличивается на

$$\nu_2=\frac{p_0V_0}{RT}$$

Масса увеличивается $n$ раз, то есть на величину:

$$m_2=\frac{p_0V_0nM}{RT}$$

В итоге изменение массы воздуха в сосуде таково: на $m_0-m_1$ она уменьшилась, а на $m_2$ увеличилась:

$$\Delta m=-(m_0-m_1)+m_2=m_1-m_0+m_2$$

$$\Delta m=\frac{p_1VM}{RT}-\frac{p_0VM}{RT}+\frac{p_0V_0nM}{RT}$$

$$\Delta m=\frac{VM}{RT}\cdot p_0\left(\frac{V}{V+V_0}\right)^n -\frac{p_0VM}{RT}+\frac{p_0V_0nM}{RT}$$

$$\Delta m=\frac{ p_0VM}{RT}\left(\left(\frac{V}{V+V_0}\right)^n+\frac{V_0 n}{V}-1 \right)$$

Ответ: $\Delta m=\frac{ p_0VM}{RT}\left(\left(\frac{V}{V+V_0}\right)^n+\frac{V_0 n}{V}-1 \right)$

Задача 4.

Сколько качаний нужно сделать, чтобы при помощи насоса, захватывающего при каждом качании $\Delta V=40$ см$^3$ воздуха, наполнить пустую камеру велосипеда настолько, чтобы площадь его соприкосновения с дорогой была равна 60 см$^3$? Нагрузка на одно колесо равна 350 Н. Объем камеры 2000 см$^3$, атмосферное давление нормальное.

Решение. Давление в шине равно

$$p_{sh}=\frac{F}{S}+p_0$$

Когда камера пустая, давление в ней атмосферное. Потом оно равно $p_{sh}$. При этом при каждом качании в камеру попадает количество вещества воздуха

$$\Delta \nu=\frac{p_0\Delta V}{RT}$$

Поскольку первоначально в камере

$$\nu=\frac{p_0V}{RT}$$

То после $n$ качаний в камере $\nu+n\cdot \Delta \nu$ воздуха. Он создает давление $p_{sh}$:

$$p_{sh}V=(\nu+n\cdot \Delta \nu)RT$$

$$p_{sh}=\frac{(\nu+n\cdot \Delta \nu)RT}{V}$$

$$\frac{F}{S}+p_0=\frac{\nu RT}{V}+\frac{\Delta \nu RT n}{V}=p_0+\frac{\Delta \nu RT n}{V}$$

Откуда

$$\frac{F}{S}=\frac{\Delta \nu RT n}{V}=\frac{RT }{V}\cdot \frac{p_0\Delta V n}{RT}$$

$$\frac{F}{S}=\frac{p_0\Delta V n}{V}$$

Выражаем $n$ и считаем:

$$n=\frac{FV}{ p_0\Delta V S}=\frac{350\cdot 2000}{10^5\cdot 40\cdot 60\cdot 10^{-4}}=29,16$$

Ответ: надо сделать 29 качаний.