Газовые законы: графические задачи

Графические задачи часто трудно даются моим ученикам. Думаю, эти задачи вообще труднее расчетных. Но этот пробел можно закрыть: всякое умение тренируется. Не устаю повторять: опыт решения делает из "задач-врагов" -  "задачи - старые знакомые", "задачи- детективы", "задачи - открытия".

Задача 1.

Изобразить на $p-V$ и $p-T$ диаграммах  процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 1.

Рассмотрим внимательно рисунок. Сначала определимся с процессом 1-2. Из рисунка видно, что соблюдается пропорциональность: единичному объему соответствует  единичная температура, а двойному объему – удвоенная. Следовательно, прямая пересечет начало координат (это важно - если бы выяснилось, что прямая через начало координат не проходит, это заставило бы нас задуматься о характере процесса) и перед нами – изобара (температура растет и с ее ростом растет объем).

Тогда на $p-V$ диаграмме можно нарисовать горизонтальный участок, следя за тем, чтобы величины объемов относились бы как $1:2$ - «вышли» из точки $V_0$, «пришли» в точку $2V_0$.

Участок 2-3: температура неизменна. Следовательно, перед нами изотерма. Как мы знаем, изотерма в осях $p-V$ имеет вид гиперболы. Внимательно посмотрим на исходный график: объем уменьшается! Следовательно, к этому привело увеличение давления. Значит, в осях $p-V$ мы будем двигаться по гиперболе вверх, и должны продолжать подъем, пока не будет достигнут первоначальный объем $V_0$:

Давление при этом, согласно объединенному закону,

$$p_2V_2=p_3V_3$$

$$p_3=\frac{ p_2V_2}{V_3}=\frac{ p_2\cdot2V_0}{V_0}=2p_2$$

Следовательно, давление увеличилось вдвое.

Участок 3-4: объем постоянен.  Однако температура растет, следовательно, молекулы становятся «быстрее» и сильнее бьют по стенкам сосуда: давление растет. При неизменном объеме линия в осях $p-V$ имеет вид вертикали. Температура на протяжении этого процесса выросла вдвое, следовательно, и давление также выросло вдвое, и стало равно $4p_2$:

Теперь попробуем нарисовать то же в осях  $p-T$. Теперь мы можем пользоваться двумя «подсказками» - тем графиком, что дан в задаче и своим собственным, построенным ранее.

Участок 1-2: давление постоянно, температура выросла вдвое, рисуем горизонталь:

Участок 2-3: температура неизменна. Изотерма в осях $p-T$ - вертикаль. Так как мы вернулись в точке 3 к тому же объему, что и в точке 1, следовательно, эти точки лежат на одной изохоре. В данных осях изохора – прямая, выходящая из начала координат. Построим эту прямую и найдем точку пересечения изохоры с изотермой процесса 2-3. Пересечение – это и будет точка 3.

Участок 3-4: объем постоянен.  То есть далее мы должны двигаться по той же изохоре, а, поскольку температура растет, то и давление тоже: то есть двигаемся вверх, пока температура не станет равна $4T_0$:

Задача 2.

Изобразить на $p-V$ и $V -T$ диаграммах  процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 8.

Проанализируем происходящее пошагово. Сначала участок 1-2: очевидно, что это изотерма. В то же время давление на протяжении участка выросло вчетверо, следовательно, объем уменьшился во столько же раз. На $p-V$ - диаграмме такой процесс – стандартного вида изотерма, то есть гипербола, и мы двигаемся по ней вверх. Внимательно следим за соответствием величин на концах участка, в точках 1 и 2.

Участок 2-3: Из рисунка видно, что соблюдается пропорциональность: единичному давлению соответствует  единичная температура, а учетверенному объему – учетверенная. Следовательно, прямая пересечет начало координат (это важно - если бы выяснилось, что прямая через начало координат не проходит, это заставило бы нас задуматься о характере процесса) и перед нами – изохора (падают и температура, и давление, причем давление сравнивается с изначальным, следовательно, двигаемся вертикально вниз по изохоре до начального давления).

Участок 3-4 – вот тут понадобится анализ, потому что данная прямая не является изохорой, и в осях $p-V$, вероятно, этот участок не будет изображаться прямолинейным отрезком.

Давайте запишем уравнение прямой, совпадающей с отрезком 3-4. Общее уравнение прямой $y=kx+b$, а у нас будет $T=kp+b$. Так как по уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu R T$$

То, подставляя $T$, получим

$$pV=\nu R(kp+b)$$

$$pV-\nu Rkp=b\nu R~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1) $$

$$p(V-\nu Rk)= b\nu R$$

И зависимость давления от объема тогда

$$p=\frac{ b\nu R }{ V-\nu Rk}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Так как зависимость обратная, то график должен выглядеть как гипербола. Но как ее изобразить? Понятно, что подниматься по ней следует до уровня $4p_0$, а каков будет при этом объем?

Для точки 3 справедливо:

$$p_3V_3=\nu R T_3$$

$$ V_3=\frac{\nu R T_3}{p_3}=\frac{\nu R T_0}{p_0}$$

Для точки 4:

$$p_4V_4=\nu R T_4$$

$$ V_4=\frac{\nu R \cdot 2T_0}{4p_0}=\frac{\nu R T_0}{2p_0}=\frac{V_3}{2}$$

Делаем вывод, что в точке 4 объем вдвое меньше, чем в точке 3.

Наконец, рисуем весь процесс:

Теперь все то же повторим, чтобы изобразить процесс в осях $V -T$. Изотерму участка 1-2 изобразим вертикальной прямой, так как температура неизменна, а давление растет – следовательно, объем падает:

Участок 2-3 – изохора – будет изображена нами горизонтальной линией.  В точке 3 давление,  по условию,  равно давлению в точке 1, поэтому они должны оказаться на  одной изобаре:

Для участка 3-4 нужно получить зависимость объема от температуры.

Из (1) можно получить, аналогично (2), что зависимость будет обратная – гиперболическая. Так как объем, как мы выяснили ранее, уменьшится в процессе 3-4 вдвое, то выглядеть кусочек такой гиперболы будет так:

 

Задача 3.

Изобразить на $ V - T$ и $p-T$ диаграммах  процесс, проводимый с идеальным газом, приведенный на рисунке 15.

Здесь, глядя на график, мы сразу понимаем, что легко не будет: процесс 1-2   не будет изображаться прямой линией в осях $p - T$.

Но сначала займемся рисованием в осях $V - T$. Для точки 1

$$p_1 V_1=\nu R T_1$$

Для точки 2

$$p_2 V_2=\nu R T_2$$

Или

$$3p_1 \cdot 2V_1=\nu R T_2$$

$$T_2=6T_1$$

Рисуем:

Участок 2-3 – изохора. Давление падает в три раза, следовательно,

$$p_3 V_3=\nu R T_3$$

Или

$$p_1 \cdot 2V_1=\nu R T_3$$

$$T_3=2T_1$$

Рисуем горизонталь:

Участок 3-1 – изобара, я это подчеркнула на графике:

Теперь рассмотрим оси  $p-T$. На участке 1-2 объем линейно зависит от давления:

$$V=kp+b$$

$$p V=\nu R T$$

Подставим:

$$p(kp+b)= \nu R T$$

Зависимость температуры от давления – парабола, ветвями вверх. Но тогда зависимость $ p (T)$ будет выглядеть иначе, мы как бы взглянем на эту параболу из-за изображения, следовательно, парабола как бы ляжет на бок:

Участок 2-3, как было указано ранее, изохора. Тогда точку 2 соединим с началом координат, намечая направление, и проведем участок 2-3 до достижения давления $p_1$.

После этого останется дополнить наш график горизонтальным участком – изобарой 3-1.