Два процесса, проводимых с газом один за другим

Задача 1.

Гелий, занимающий объем $V_1 = 1$ л при давлении $p_1 = 200$ кПа, изобарически нагревают так, что его объем увеличивается в 3 раза. Затем при изохорическом охлаждении его давление изменилось вдвое. Молярная масса гелия $\mu = 4$ г/моль, конечная температура $T_3 = 288$ К. Чему равна масса гелия? Какова среднеквадратическая скорость атомов гелия в начальном состоянии?

Решение. Начнем с конца. Так как в изохорном процессе давление уменьшилось вдвое (при охлаждении давление падает), то и температура уменьшилась вдвое:

$$\frac{p_2}{T_2}=\frac{p_3}{T_3}$$

Откуда

$$\frac{p_2}{p_3}=\frac{T_2}{T_3}$$

Следовательно, температура в точке 2 была $T_2=576$ К.

Теперь переходим к изобарному процессу, в котором объем вырос втрое. Следовательно, температура упала втрое:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

Или

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2}$$

Значит, $T_1=\frac{T_2}{3}=\frac{576}{3}=192$ К.

Теперь нам известно давление, объем и температура в точке 1. Можно найти массу:

$$pV=\frac{m}{M}RT$$

$$m=\frac{pVM}{RT}=\frac{200000\cdot 0,001\cdot 0,004}{8,31\cdot 192}=0,0005$$

Масса – полграмма.

Определим скорость:

$$\upsilon=\sqrt{\frac{3RT}{M}}=\sqrt{\frac{3\cdot 8,31\cdot 192}{0,004}}=1094$$

Ответ: масса – 0,5 г, скорость молекул – 1094 м/с.

Задача 2.

Некоторая масса идеального газа вначале изобарически сжимается так, что ее объем уменьшается вдвое, а затем изотермически расширяется так, что ее давление уменьшается вдвое. Найти конечную температуру и объем газа, если его начальная температура $T_1=320$ К, а начальный объем $V_1=1$ л.

Решение. Рассмотрим изобарный процесс. Объем уменьшился вдвое. Следовательно, температура упала вдвое:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

Или

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_1}{T_2}$$

Значит, $T_2=\frac{T_1}{2}=\frac{320}{2}=160$ К. Объем в этой точке равен $V_2=0,5$ л.

Теперь изотермический процесс. Произведение $pV=const$, так что если давление уменьшилось вдвое – объем вдвое вырос, так что $V_3=1$ л. Так что можно писать ответ: в изотермическом процессе температура неизменна, поэтому осталась равной 160 К.

Ответ: конечный объем 1 л, температура 160 К.

Задача 3.

В результате изохорического охлаждения $m=4$ г азота давление уменьшилось в три раза. Затем в результате изобарического нагревания объем газа увеличился в 2 раза. Начальный объем азота $V_1=1$ л, начальное давление $p_1=360$ кПа. Чему равна температура $T_3$ и концентрация молекул газа $n_3$ в конечном состоянии?

Решение. Так как в изохорном процессе давление уменьшилось втрое (при охлаждении давление падает), то и температура уменьшилась втрое:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_3}$$

Откуда

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1}{T_2}$$

Следовательно, температура в точке 2 была $T_2=\frac{T_1}{3}$ К. Давление равно $p_2=120$ кПа. В изобарном процессе давление остается таким же, объем стал равен 2 л. Зная объем и давление в конечной точке, определим температуру:

$$p_3V_3=\frac{m}{M}RT_3$$

$$T_3=\frac{ p_3V_3 M}{mR}=\frac{120000\cdot 0,002\cdot 0,028}{0,004\cdot 8,31}=202$$

Найдем концентрацию:

$$n=\frac{p}{kT_3}=\frac{120000}{1,38\cdot 10^{-23}\cdot 202}=4,3\cdot 10^{25}$$

Ответ: $T_3=202$ К, $n=4,3\cdot 10^{25}$.