Два поршня

Задача 1.

Легкий теплопроводящий поршень $A$ и тяжелый теплонепроводящий поршень $B$ делят вертикально расположенный цилиндр на два отсека. Высота каждого отсека $L=40$ см, и в каждом из них находится 1 моль идеального одноатомного газа. Первоначально система находится в тепловом равновесии, потом газ медленно нагревают, сообщая ему количество теплоты $Q=200$ Дж. Определите наименьшую силу трения между поршнем $A$ и стенками сосуда, при которой поршень $A$ еще останется неподвижным. Поршень $B$ может перемещаться без трения.

Рисунок к задаче 1

Решение. Поршень $A$ - теплопроводный, следовательно, температуры газов одинаковы.  В верхней части давление постоянно, то есть газ нагревается изобарно:

$$Q_{verh}=c_p \nu \Delta T=\frac{5}{2}R\Delta T$$

Поршень $A$ неподвижен, поэтому процесс для газа под ним – изохорный.

$$Q_{niz}=c_V\nu \Delta T=\frac{3}{2}R\Delta T$$

Общее количество теплоты

$$Q= Q_{verh}+ Q_{niz}=\frac{5}{2}R\Delta T+\frac{3}{2}R\Delta T=4 R\Delta T$$

Прежнее состояние системы и новое

Для нижней части закон Шарля:

$$\frac{p}{T}=\frac{p_1}{T_1}$$

$$T_1=T\cdot \frac{p_1}{p}$$

Разность температур

$$\Delta T=T_1-T=T\cdot\frac{p_1-p}{p}$$

Сила трения равна

$$F_{tr}=(p_1-p)S$$

$$\Delta T=T\frac{ F_{tr}}{pS}$$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа в нижней части цилиндра:

$$pV=\nu RT$$

И, так как $\nu=1$, то

$$T=\frac{pV}{R}$$

Тогда

$$\Delta T=\frac{pV}{R}\cdot\frac{ F_{tr}}{pS}=\frac{V}{S}\cdot \frac{ F_{tr}}{R}=\frac{ F_{tr}L}{R}$$

Итого, с одной стороны,

$$\Delta T=\frac{ F_{tr}L}{R}$$

С другой

$$\Delta T=\frac{Q}{4R}$$

Приравниваем правые части:

$$\frac{ F_{tr}L}{R}=\frac{Q}{4R}$$

Откуда

$$ F_{tr}=\frac{Q}{4L}=\frac{200}{4\cdot 0,4}=125$$

Ответ: 125 Н.

Задача 2.

В вертикально расположенном цилиндрическом сосуде под поршнем находится идеальный газ. Сосуд помещается в лифт. Когда лифт неподвижен, расстояние между дном сосуда и поршнем равно 12 см, при движении лифта с постоянным ускорением расстояние между дном сосуда и поршнем оказалось равным 10 см.  Найти модуль ускорения лифта. Атмосферное давление не учитывать. Температуру считать постоянной.

Решение. Когда лифт неподвижен, вес поршня уравновешен силой давления

$$mg=pS$$

Когда движется с ускорением,

$$ma=p_1S-mg$$

Так как процесс для газа изотермический, то

$$\frac{V}{V_1}=\frac{p_1}{p}=1,2$$

$$\frac{p_1}{p}=\frac{p_1S}{pS}=1,2$$

Подставим вместо $pS$ - $mg$, а вместо $p_1S$ - $mg+ma$:

$$\frac{p_1S}{pS}=\frac{mg+ma}{mg}=1+\frac{ma}{mg}=1+\frac{a}{g}=1,2$$

$$\frac{a}{g}=0,2$$

$$a=2$$

Ответ: $a=2$ м/с