Второе начало термодинамики. Цикл Карно. Задачи Сириуса.

Задача 1.

Идеальный газ участвует в цикле Карно с КПД 0,2. Работа газа при изотермическом расширении 50 Дж. Найдите работу газа при изотермическом сжатии.
Ответ дайте в Дж, округлив до целого числа.

Решение.

$$\eta=1-\frac{\mid Q_x \mid}{Q_n}$$

$$\frac{\mid Q_x \mid}{Q_n}=0,8$$

$$\mid Q_x \mid=0,8Q_n=40$$

При сжатии работа отрицательна, поэтому ответ $-40$ Дж.

Ответ: -40 Дж

Задача 2.

Двигатель внутреннего сгорания имеет КПД 30%. Температура горения топлива в цилиндрах двигателя $927^{\circ}$C, температура окружающего воздуха $17^{\circ}$ C. Определите, во сколько раз КПД реального двигателя меньше, чем КПД идеальной тепловой машины с теми же температурами холодильника и нагревателя. Ответ выразите в виде числа, большего единицы, округлив до сотых.

Решение. Сначала переводим температуры: $T_n=927+273=1200$ К,  $T_x=17+273=290$ К.

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_x }{T_n}=1-\frac{ 290 }{1200}=0,76$$

$$\frac{\eta_{ideal}}{\eta}=\frac{0,76}{0,3}=2,53$$

Ответ: 2,53

Задача 3.

Найдите КПД цикла Карно, в котором при адиабатическом расширении объем газа увеличивается в два раза. Ответ выразите в процентах, округлив до целого числа. Рабочим веществом является двухатомный идеальный газ.

Решение. $i=5$, так как газ двухатомный. Показатель адиабаты $\gamma=1,4$.

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_x }{T_n}$$

Определим отношение температур, воспользовавшись уравнением адиабаты:

$$p_1 V_1^{\gamma}=p_2V_2^{\gamma}$$

$$ p_1 V_1^{\gamma}=p_2(2V_1)^{\gamma}$$

$$ p_1 =p_2\cdot (2)^{\gamma}$$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует, что

$$\nu R=\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

Здесь $T_1=T_n$, $T_2=T_x$. Тогда

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{p_2V_2}{p_1V_1}=\frac{p_2}{p_1}\cdot 2$$

А, как ранее выяснилось из уравнения адиабаты,

$$\frac{p_2}{p_1}=2^{-\gamma}$$

Тогда

$$\frac{T_2}{T_1}=2\cdot 2^{-\gamma}=2^{-0,4}=0,76$$

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_2 }{T_1}=1-0,76=0,24$$

Ответ:  24%

Задача 4.

Гигантский айсберг массой $m=9\cdot 10^8$ кг, имеющий форму куба с длиной ребра 100 м и температуру $T_1=273$ К, дрейфует в течении Гольфстрим, температура воды которого $T_2=295$ К. Пренебрегая прямым теплообменом между айсбергом и тёплой водой, найдите максимальную работу тепловой машины, использующей Гольфстрим в качестве нагревателя и айсберг в качестве холодильника, за то время, пока весь айсберг не растает.
Ответ дайте в $10^{13}$ Дж, округлив до десятых. Удельная теплота плавления льда $\lambda=330$ кДж/кг.

Решение. Полученное айсбергом количество теплоты

$$Q_x=m\lambda=9\cdot 10^8\cdot 330000=297\cdot 10^{12}$$

Максимальный КПД

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_x }{T_n}=1-\frac{ 273 }{295}=0,0746$$

С другой стороны,

$$\eta=1-\frac{Q_x}{Q_n}$$

Откуда, если оба КПД равны,

$$\frac{Q_x}{Q_n}=1-0,0746=0,9254$$

Найдем $ Q_n$:

$$Q_n=\frac{Q_x}{0,9254}=\frac{297\cdot 10^{12}}{0,9254}=32,1\cdot 10^{13}$$

Так как

$$\eta=\frac{A}{Q_n}$$

То

$$A=\eta Q_n=0,0746\cdot 32,1\cdot 10^{13}=2,4\cdot 10^{13}$$

Ответ: 2,4