Тепловые двигатели

Первые задачи - совсем несложные. Ну а после разминки можно что-то и посложнее решить. В этой статье сложных задач не представляю, но о них еще будет сказано, следите за свежими статьями.

Задача 1. Идеальный тепловой двигатель за $\Delta t = 0,5$ часа получает от нагревателя количество теплоты $Q_1 = 150$ кДж. Определить полезную мощность двигателя, если он отдает холодильнику количество теплоты $Q_2 =100$ кДж.

Так как $Q_1-Q_2=A$, а мощность $N=\frac{A}{t}$, то (время переведем в секунды):

$$N=\frac{ Q_1-Q_2}{t}=\frac{(150-100)\cdot10^3}{1800}=27,8$$

Ответ: $N=27,8$ Вт.

Задача 2. Количество теплоты, отданное тепловым двигателем за цикл $Q_2 = 1,5$ кДж, КПД двигателя $\eta = 20$% . Определить полученное от нагревателя за цикл количество теплоты.

$$\eta=\frac{ Q_1-Q_2}{Q_1}=0,2$$

$$1-\frac{ Q_2}{Q_1}=0,2$$

$$\frac{ Q_2}{Q_1}=0,8$$

$$Q_1=\frac{ Q_2}{0,8}=1875$$

Ответ: 1875 Дж

Задача 3. Тепловой двигатель с КПД $\eta = 12$% совершает за цикл работу $A = 150$ Дж. Определить количество теплоты, отданное за цикл холодильнику.

$$\eta=\frac{ A}{Q_1}=\frac{ Q_1-Q_2}{Q_1}=0,12$$

Откуда $Q_1=\frac{A}{\eta}$

$$1-\frac{ Q_2}{Q_1}=0,12$$

$$\frac{ Q_2}{Q_1}=0,88$$

$$\frac{ Q_2\eta}{A}=0,88$$

$$Q_2=\frac{ 0,88A }{\eta}=\frac{150\cdot0,88}{0,12}=1100$$

Ответ: 1100 Дж
Задача 4. Количество теплоты, отданное тепловым двигателем холодильнику за цикл, $Q_2= 25$ Дж, КПД двигателя $\eta = 15$% . Определить работу, совершаемую двигателем за цикл.

$$\eta=\frac{ A}{Q_1}=\frac{ Q_1-Q_2}{Q_1}=0,12$$

$$1-\frac{ Q_2}{Q_1}=0,15$$

$$\frac{ Q_2}{Q_1}=0,85$$

$$Q_1=\frac{ Q_2}{0,85}=29,4$$

$$A= Q_1- Q_2=4,4$$

Ответ: 4,4 Дж

К задаче 5

Задача 5.  Идеальный газ совершает работу, изменяя свое состояние по замкнутому циклу, состоящему из двух изохор и двух изобар (рисунок). В состоянии 1 температура газа равна $T_1$, в состояниях 2 и 4  температура газа $T_2$. Масса газа $m$, молярная  масса $M$. Какую работу совершает газ за один цикл?

Работа газа будет равна площади цикла. Это можно показать так: в процессе 2-3 работа – это вся площадь прямоугольника под этой прямой. Но в процессе 4-1 газ совершает отрицательную работу, также равную численно площади под прямой 4-1 – а разность площадей указанных прямоугольников и есть площадь цикла.

$$A=(p_2-p_1)(V_4-V_1)$$

Процесс 1-2: В состоянии 1 параметры газа $p_1, V_1, T_1$. В состоянии 2 его параметры - $p_2, V_1, T_2$. Так как объем неизменен, то можно записать закон Шарля:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

$$p_2=\frac{p_1 T_2}{T_1}$$

Для состояния 1 запишем уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$p_1V_1=\nu R T_1=\frac{m}{M}R T_1$$

Из этого уравнения получим давление $p_1$:

$$p_1=\frac{m}{MV_1}R T_1$$

Тогда $p_2=\frac{m}{MV_1}R T_2$

Тогда $p_2-p_1=\frac{m}{MV_1}R(T_2-T_1)$.

Теперь рассмотрим процесс 4-1. Это изобарный процесс, и для него можно записать закон Гей-Люссака:

$$\frac{V_4}{T_4}=\frac{V_1}{T_1}$$

$$ V_4=\frac{V_1 T_4}{T_1}=\frac{V_1 T_2}{T_1}$$

Тогда в нашу формулу для работы можно будет подставить:

$$V_4-V_1=\frac{V_1 T_2}{T_1}-V_1$$

Определяем работу:

$$A=(p_2-p_1)(V_4-V_1)= \frac{m}{MV_1}R(T_2-T_1)\cdot\frac{V_1 T_2}{T_1}-V_1$$

$$A=\frac{m}{MV_1}R(T_2-T_1)\cdot V_1 \left(\frac{ T_2}{T_1}-1\right)$$

$$A=\frac{m}{MT_1}R\left(\frac{ T_2}{T_1}-1\right)\cdot \left(\frac{ T_2}{T_1}-1\right)$$

Ответ: $A=\frac{m}{MT_1}R\left(\frac{ T_2}{T_1}-1\right)^2 $.