Теплоемкость газа. КПД цикла

Продолжаю выкладывать решения задач, над которыми я билась летом при подготовке к занятиям с группой олимпиадников. Решали параллельно: и я, и они. Теперь дошли руки до МКТ.

Задача 1.

 Газообразный гелий нагревается (непрерывно повышается температура) от температуры $T_0$ в процессе, в котором молярная теплоёмкость газа зависит от температуры $T$ по закону: $$C_{\mu}=R\frac{T}{T_0}$$ Найти температуру $T_1$, при нагревании до которой газ совершил работу, равную нулю. Найдите температуру $T_2$, при которой объем газа минимальный. Решение. Записываем первое начало для небольшого участка этого процесса: $$\Delta Q=\Delta U+\Delta A$$ Теплоемкость газа равна $$C=\frac{Q}{\Delta T}$$ Молярная теплоемкость – $$ C_{\mu}=\frac{C}{M}$$ Поэтому $$\Delta Q=\nu C_{\mu} \Delta T$$ И первое начало перепишем как $$\nu C_{\mu} \Delta T=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+\Delta A$$ $$\nu R\frac{T}{T_0} \Delta T=\frac{3}{2}\nu R\Delta T+\Delta A$$ Суммируем: $$\frac{\nu R }{T_0} \sum T \Delta T=\frac{3}{2}\nu R\sum\Delta T+\sum\Delta A$$ По методу телескопирования $$ T \Delta T=\frac{\Delta (T^2)}{2}$$ $$\sum T \Delta T=\frac{T_1^2}{2}-\frac{T_0^2}{2}$$ Поэтому, так как работа равна нулю, имеем $$\frac{\nu R }{T_0} \left(\frac{T_1^2}{2}-\frac{T_0^2}{2}\right)=\frac{3}{2}\nu R(T_1- T_0)$$ Сократим на $\nu R$, и на $ T_1- T_0$: $$\frac{1}{T_0} \left(\frac{T_1}{2}+\frac{T_0}{2}\right)= \frac{3}{2}$$ Откуда $$T_1+T_0=3T_0$$ $$T_1=2T_0$$ Перепишем первое начало еще раз: $$\nu \Delta T \left(C_{\mu} -\frac{3}{2}R\right)=\Delta A=p\Delta V=0$$ $$ C_{\mu} =\frac{3}{2}R$$ $$ R\frac{T_2}{T_0}=\frac{3}{2}R$$ $$ \frac{T_2}{T_0}=\frac{3}{2}$$ $$T_2=\frac{3T_0}{2}$$ Ответ: $T_1=2T_0$, $T_2=\frac{3T_0}{2}$.

Задача 2.

 На $pV$ -диаграмме изображены три замкнутых процесса, происходящих с идеальным газом: 1-2-4-1, 2-3-4-2 и 1-2-3-4-1. На участках 1-2 и 3-4 температура газа постоянна, а на участках 2-3 и 4-1 газ теплоизолирован. Известно, что в процессе 1-2-4-1 совершается работа $A_1 = 5$ Дж, а в процессе 2-3-4-2 — работа $A_2 = 4$ Дж. Найдите коэффициент полезного действия процесса 1-2-3-4-1, если коэффициенты полезного действия процессов 1-2-4-1 и 2-3-4-2 равны.

К задаче 2

Решение. Искать будем величину $$\eta_{12341}=\frac{A_1+A_2}{Q_{12}}$$ Известно, что $$\eta_{1241}=\frac{A_1}{Q_{12}}$$ $$\eta_{2342}=\frac{A_2}{Q_{42}}$$ И что $$\frac{A_1}{Q_{12}}=\frac{A_2}{Q_{42}}~~~~~~~~~~~~~(1)$$ Для цикла 1-2-4-1 сумма полученных газом количеств теплоты равна сумме работ. $$Q_{12}+ Q_{24}+ Q_{14}=A_1$$ Но $ Q_{14}=0$, а $ Q_{24}=- Q_{42}$. $$ Q_{12}- Q_{42}=A_1$$ $$ Q_{42}= Q_{12}- A_1$$ Подставим это в (1): $$\frac{A_1}{Q_{12}}=\frac{A_2}{ Q_{12}- A_1}$$ $$A_1Q_{12}-A_1^2= Q_{12} A_2$$ $$ Q_{12}=\frac{A_1^2}{A_1-A_2}$$ Откуда $$\eta_{12341}=\frac{A_1+A_2}{Q_{12}}=\frac{( A_1+A_2)( A_1-A_2)}{A_1^2}=1-\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$ Ответ: $\eta_{12341}=\frac{9}{25}$.

Задача 3.

 Рабочим телом тепловой машины является 1 моль одноатомного идеального газа, совершающий циклический процесс, диаграмма которого в координатах «теплоёмкость — температура» показана на рисунке. Известно, что максимальная абсолютная температура газа в цикле больше минимальной в $n = 4\sqrt{2}$ раз. Найти КПД цикла. Уравнение адиабаты для одноатомного идеального газа $рV^{\frac{5}{3}} = const$.

К задаче 3

Решение. В процессе 1-2 теплоемкость равна $\frac{5}{2}R$ - процесс изобарный. В процессе 2-3 теплоемкость равна $\frac{3}{2}R$ - процесс изохорный. Процесс 3-1, в котором теплоемкость равна нулю – изотермический. Перерисуем цикл:

Перерисовали цикл в другие координаты

Минимальная температура в  цикле в точке 3 ($T_0$), а максимальная в точке 2. Поэтому давления отличаются в $n$ раз и давление в точке 1 - $np_0 $. Для процесса 1-2 $$np_0\cdot V_0^{\frac{5}{3}}=p_0V_3^{\frac{5}{3}}$$ $$n=2^\frac{5}{2}$$ $$V_3=V_0n^{\frac{3}{5}}=V_0\cdot 2^{\frac{3}{2}}$$ Значит, объем вырос в $2\sqrt{2}$ раз (при переходе 1-2). Но это означает, что температура тоже выросла в такое же количество раз. То есть  $T_3=2\sqrt{2}T_0$. В процессе 1-2 газ получает тепло – это количество теплоты, полученное от нагревателя. В процессе 2-3 газ отдает тепло – это количество теплоты, отданное холодильнику. $$\eta=1-\frac{Q_x}{Q_{nagr}}$$ $$ Q_{nagr}=\nu\cdot \frac{5}{2}R (4\sqrt{2}T_0-2\sqrt{2}T_0)= 5\sqrt{2}\nu RT_0$$ $$ Q_x=\frac{3}{2}\nu R(4\sqrt{2}-1)T_0$$ $$\eta=1-\frac{Q_x}{Q_{nagr}}=1-\frac{3}{2}\cdot \frac{4\sqrt{2}-1}{5\sqrt{2}}=\frac{3-2\sqrt{2}}{10\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}-4}{20}$$ Ответ: $\eta=\frac{3\sqrt{2}-4}{20}$.