Олимпиадная подготовка по МКТ – 13

Еще пара задач для подготовки к олимпиадам. Одна графическая, а вторая - вроде бы стандартная задача на нахождение КПД, но на самом деле задачка с подвохом!

Задача 1.

С одноатомным идеальным газом проводят циклы 1-2-3-4-1 и 1-2-4-1, показанные на рисунке. Найдите КПД обоих циклов.

К задаче 1

Решение. Начнем с цикла 1-2-3-4-1.

$$A_{12341}=4p_0V_0$$

$$Q_{12341}=Q_{12}+Q_{23}=\Delta U_{12}+A_{23}+\Delta U_{23}= A_{23}+\Delta U_{13}=6p_0V_0+\frac{3}{2}(9p_0V_0-p_0V_0)=18p_0V_0$$

$$\eta_{12341}=\frac{ A_{12341}}{ Q_{12341}}=\frac{4p_0V_0}{18p_0V_0}=\frac{2}{9}$$

Теперь рассмотрим цикл 1-2-4-1.

Зная координаты двух точек – 2 и 4, -  запишем уравнение прямой:

$$p=-kV+b$$

Подставим координаты:

$$3p_0=-kV_0+b$$

$$p_0=-3kV_0+b$$

Вычитаем:

$$2p_0=2kV_0$$

$$p_0=kV_0$$

Определяем $b$:

$$3kV_0=-kV_0+b$$

$$b=4kV_0$$

Получилось следующее:

$$p=-\frac{p_0}{V_0}V+4p_0$$

Линейная зависимость давления от объема, убывающая функция.

Найдем точку, в которой $dQ=0$, то есть точку, где графика нашего процесса 2-4 касается адиабата.

$$dQ=dA+dU$$

$$dQ=0$$

$$pdV+\frac{3}{2}\nu R dT=0~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$p=4p_0-\frac{p_0}{V_0}V$$

$$dp=-\frac{p_0}{V_0}dV$$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и тоже продифференцируем по объему:

$$dp \cdot V+pdV=\nu R dT$$

Вместо $\nu R dT$ из (1) можно подставить $-\frac{2}{3}p dV$:

$$dp \cdot V+pdV=-\frac{2}{3}pdV $$

$$dpV+\frac{5}{3}pdV=0$$

$$-\frac{p_0}{V_0}dV\cdot V+\frac{5}{3}(4p_0-\frac{p_0}{V_0}V)dV=0$$

$$\frac{20p_0}{3}=\frac{8}{3}\frac{p_0V}{V_0}$$

Откуда

$$20V_0=8V$$

$$V=2,5V_0$$

До этого объема газ тепло получает. Этому объему соответствует давление $1,5p_0$. Поэтому теперь можно найти КПД цикла, зная, что он получает тепло вплоть до точки 5 с координатами $(2,5V_0; 1,5p_0)$.

$$A_{1241}=2p_0V_0$$

$$Q_{1241}=Q_{12}+Q_{25}=\frac{3}{2}(3p_0V_0-p_0V_0)+\frac{3p_0+1,5p_0}{2}\cdot (2,5V_0-V_0)+\frac{3}{2}(2,5V_0\cdot 1,5p_0-3p_0V_0)=3p_0V_0+3,375p_0V_0+1,125p_0V_0=7,5p_0V_0$$

$$\eta_{1241}=\frac{ A_{1241}}{ Q_{1241}}=\frac{2p_0V_0}{7,5p_0V_0}=\frac{4}{15}$$

Ответ: у большого цикла КПД равен  $\eta_{12341}=\frac{2}{9}$, у малого $\eta_{1241}=\frac{4}{15}$.

Задача 2.

 Говорят, что в архиве лорда Кельвина нашли рукопись, на которой был изображен процесс 1 - 2 - 3, совершенный над одним молем азота (рисунок). От времени чернила выцвели, и стало невозможно разглядеть, где находятся ось $p$ (давления) и $V$ (объема). Однако из текста следовало, что состояния 1 и 3 лежат на одной изохоре, а также то, что в процессах 1-2 и 2-3 объем газа изменяется на $\Delta V$. Кроме того, было сказано, что количество теплоты, подведенной в процессе 1-2-3 к азоту  было равно нулю. Определите на каком расстоянии (в единицах объема) от оси $p$ (давлений) находится изохора, проходящая через точки 1 и 3.

К задаче 2

Решение.

$$Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}$$

$$Q_{23}=-A_{23}-\Delta U_{23}$$

Здесь $A_{23}$ и $\Delta U_{23}$ - модули соответствующих работы и изменения внутренней энергии.

Работа в цикле – площадь треугольника.

$$A_{12}-A_{23}=-\Delta p \Delta V\cdot \frac{1}{2}$$

Разность внутренних энергий

$$\Delta U_{12}-\Delta U_{23}=\frac{5}{2}\Delta p\cdot V_1$$

$i=5$, так как азот – двухатомный газ.

По условию

$$Q_{12}+ Q_{23}=0$$

$$ Q_{12}+ Q_{23}= A_{12}-A_{23}+\Delta U_{12}-\Delta U_{23}=0$$

$$-\Delta p \Delta V\cdot \frac{1}{2}+\frac{5}{2}\Delta p\cdot V_1=0$$

$$-\Delta V+5V_1=0$$

$$\Delta V=5V_1$$

Теперь можно провести соответствующую ось давлений: разделим отрезок $\Delta V$ на пять равных частей и отложим влево еще одну такую часть, получив ось давлений.

Построим ось давлений по полученным данным

Ответ: $V_2=5V_1$.