Холодильные машины

Всем привет, сегодня рассматриваем задачи на холодильники. К ак правило, с тепловыми двигателями, работающими по прямому циклу, у всех все хорошо, а вот как доходит до холодильников ( тот же двигатель, но работает по обратному циклу) – у многих начинаются проблемы. Давайте разбираться.

Для теплового двигателя $Q_1=A+Q_2$, то есть тепло, переданное ему нагревателем, расходуется на работу, а остаток сбрасывается в холодильник. Для холодильной машины (см. рисунок) $A+Q_2=Q_1$, что выражает следующее: двигатель машины совершает работу, благодаря чему нагревателю передается количество тепла $Q_1$, большее, чем $Q_2$ - количество теплоты, забираемое у холодильника. КПД  теплового двигателя $\eta=\frac{A}{Q_1}$ - тем больше, чем больше полезной работы совершено при переданном машине количестве теплоты $Q_1$. У холодильника КПД тем больше, чем больше тепла отобрано от холодильника, но формула та же:

$$\eta=1-\frac{\mid Q_2 \mid}{\mid Q_1 \mid}$$

Не надо путать КПД и холодильный коэффициент. КПД всегда меньше 1, а холодильный коэффициент – больше. У хорошего холодильного агрегата $k$ достигает трех.  Холодильная машина тем эффективнее, чем больше тепла она отбирает у холодильника при совершенной двигателем работе $A$.

$$k=\frac{Q_2}{A}$$

Часто для обозначения холодильного коэффициента пользуются буквой $\varepsilon$.

 

Задача 1.

КПД идеальной тепловой машины $\eta=0,25$. Машина работает по обратному циклу (как холодильная). Какое максимальное количество тепла можно забрать из холодильника, совершив работу $A=10$ Дж? Чему равен холодильный коэффициент машины $\varepsilon$?

Решение. Забираемое из холодильника количество теплоты $Q_2$. Доставляемое в комнату количество теплоты - $Q_1$

$$Q_1 =\frac{A}{\eta}=\frac{10}{0,25}=40$$

Согласно первому началу

$$ Q_2=Q_1-A=40-10=30$$

Холодильный коэффициент машины

$$\varepsilon=\frac{Q_2}{A}=\frac{30}{10}=3$$

Тут четко видно различие между КПД и холодильным коэффициентом.

Ответ: $ Q_2=30$ Дж, $\varepsilon=3$.

 

Задача 2.

Холодильник имеет мощность 160 Вт и производительность 2 ккал «холода» в 1 мин. (Холодильник используется для приготовления льда.) Сколько тепла сообщает он за 1 минуту комнате, в которой установлен?

Решение. Тут известна работа $A=Pt$, и $Q_2$ - это 2000 кал в минуту, или 8000 Дж в минуту. Вот и посчитаем $Q_1$, тоже за минуту.

$$Q_1=Q_2+A=160\cdot 60+8000=17600$$

Ответ: 17600 Дж.

 

Задача 3.

В домашнем холодильнике поддерживается температура $t_2=-3^{\circ}$C,а температура в кухне равна $t_1=27^{\circ}$C. Мотор холодильника потребляет мощность $N=200$ Вт. Холодильник работает по циклу Карно и тепловыделяющий элемент имеет температуру окружающего воздуха. Определить мощность потока тепловой энергии, перекачиваемой из камеры холодильника в кухню.

Решение. Нужно найти мощность тепловыделения, то есть сколько джоулей выделяется в 1 с в комнату, то есть $\frac{Q_1}{t}$.

За время $t$мотор совершит работу

$$A=Nt$$

КПД холодильника определим так:

$$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}=\frac{27-(-3)}{t_1+273}=\frac{30}{300}=0,1$$

С другой стороны,

$$\eta=\frac{A}{Q_1}$$

$$Q_1=\frac{A}{\eta}$$

$$\frac{Q_1}{t}=\frac{A}{\eta t}=\frac{N}{\eta}=\frac{200}{0,1}=2000$$

Ответ: 2000 Вт – мощность теплового потока в комнату.

 

Задача 4.

Холодильник, потребляющий мощность $W$ за время $\tau$, охладил до $0^{\circ}$C воду массой $m$ при температуре $t$. Какое количество теплоты выделил холодильник в комнате за это время при условии, что теплоемкостью холодильника можно пренебречь?

Решение. Нужно найти $Q_1$.

Чтобы охладить воду массой $m$ при температуре $t$ до $0^{\circ}$C, нужно забрать у нее теплоту

$$Q_2=c m \Delta t=cm(t-0)=cmt$$

Поэтому (работа равна $Wt$) по первому началу

$$Q_1=cmt+Wt$$

Ответ: $Q_1=cmt+Wt$

 

Задача 5.

В установках для поддержания рекордно низких температур мощность «паразитного» притока тепла, связанного с несовершенством теплоизоляции, удается снизить до $N_p=0,01$ Вт. Рассчитать минимальную мощность $N_x$, которую в этом случае нужно затратить, чтобы поддерживать в камере температуру $T_2=10^{-4}$ К при температуре окружающей среды $t_1=20^{\circ}$C.

Решение. Холодильный коэффициент равен

$$k=\frac{Q_2}{A}=\frac{Q_2}{Q_1-Q_2}=\frac{T_2}{T_1-T_2}$$

$$A=\frac{Q_2}{k}=Q_2\frac{T_1-T_2}{T_2}$$

Перейдем к мощностям

$$N_x=N_p\left(\frac{T_1}{T_2}-1 \right)=0,01\left(\frac{293}{10^{-4}}-1 \right)=2,93\cdot 10^4$$

Ответ: 29,3 кВт.

Задача 6.

Идеальная тепловая машина, работающая по обратному циклу Карно, отнимает от охлаждаемого тела с температурой $t_2=-10^{\circ}$C количество теплоты $Q=28$ кДж и передает телу с температурой $t_1=17^{\circ}$C. Определить КПД цикла, количество теплоты, переданное нагретому телу за цикл, и холодильный коэффициент машины $\varepsilon$.

Решение.  Холодильный коэффициент равен

$$\varepsilon =\frac{T_2}{T_1-T_2}=\frac{263}{290-263}=9,74$$

С другой стороны,

$$\varepsilon =\frac{Q_2}{A}$$

Так как $Q_2$ нам известно, $Q_2=28000$ Дж, то

$$A=\frac{Q_2}{\varepsilon}=\frac{28000}{9,74}=2875$$

Тогда

$$Q_1=A+Q_2=30875$$

$$\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=\frac{30875-28000}{30875}=0,093$$

Ответ: $\eta=9,3/%$, $Q_1= 30,9$ кДж, $\varepsilon =9,74$.

 

Задача 7.

Идеальная тепловая машина, работающая по обратному циклу Карно, передает тепло от холодильника с водой при температуре $t_2=0^{\circ}$C кипятильнику с водой при $t_1=100^{\circ}$C. Какую массу воды нужно заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар воду массой $m=1$ кг в кипятильнике?

Решение. Чтобы заморозить $m$ кг воды, надо от нее отвести

$Q_2=\lambda m_x$$

Чтобы вскипятить 1 кг воды, надо ему передать

$$Q_1=Lm=2300000$$

Так как машина идеальна,

$$\eta=\frac{T_1-T_2}{T_1}=\frac{100}{373}=0,268$$

$$\eta=\frac{Q_1-Q_2}{Q_1}=1-\frac{Q_2}{Q_1}$$

$$\frac{Q_2}{Q_1}=1-\eta=0,731$$

$$Q_2=Q_1(1-\eta)=2300000\cdot0,731=1683378$$

Возвращаясь к первой формуле

$$m_x=\frac{Q_2}{\lambda}=\frac{1683378}{340000}=4,95$$

Ответ: необходимо заморозить 4,95 кг воды.