Холодильники и тепловые насосы - задачи Сириуса.

Тепловой двигатель может работать  «в обратном» направлении: забирать теплоту у более холодного тела (холодильник – у продуктов внутри него, кондиционер – у прохладного комнатного воздуха) и отдавать более теплому (холодильник – теплой комнате, кондиционер – жаркой «наруже»). Тепловой насос – из этой же когорты, забирает тепло у холодной земли и передает в теплый дом, чтобы нагреть его еще больше. Работа этих машин не противоречит второму началу термодинамики, так как для работы они берут энергию «из розетки». Для холодильника вводят холодильный коэффициент

$$\varepsilon_{xol}=\frac{Q_2}{A}$$

$$\varepsilon_{xol}=\frac{1}{\eta}-1$$

Где $\eta$ - КПД теплового двигателя «прямого» хода.

Для теплового насоса вводят отопительный коэффициент:

$$\varepsilon_{otop}=\frac{Q_1}{A}=\frac{1}{\eta}$$

Задача 1.

Обратимая тепловая машина используется в качестве теплового насоса. Какую мощность она будет потреблять из розетки, чтобы нагревать помещение с мощностью 5 кВт? Температура в помещении $20^{\circ}$ C, температура на улице $−10^{\circ}$ C. Ответ выразите в кВт, округлив до сотых.

Решение. Переведем температуры:  $T_1=293$ K, $T_2=263$ K.

Определяем КПД идеальной машины:

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_2 }{T_1}=1-\frac{ 263 }{293}=0,102$$

Определяем отопительный коэффициент:

$$\varepsilon_{otop}=\frac{Q_1}{A}=\frac{1}{\eta}=\frac{1}{0,102}=9,77$$

Теперь потребляемое:

$$A=\frac{Q_1}{\varepsilon_{otop}}=\frac{5}{9,77}=0,51$$

Ответ: 0,51 кВт

Задача 2.

С помощью электрической батареи мощностью $P_0=2$ кВт в домике поддерживается температура $t_1=17^{\circ}$ C при температуре наружного воздуха $t_2=−23^{\circ}$ C. Какая мощность потребовалась бы для поддержания в домике той же температуры с помощью идеальной тепловой машины? Ответ выразите в Вт, округлив до целого числа.

Решение. Переведем температуры:  $T_1=290$ K, $T_2=250$ K.

Определяем КПД идеальной машины:

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_2 }{T_1}=1-\frac{ 250 }{290}=\frac{4}{29}$$

С другой стороны,

$$\eta=\frac{A}{Q_1}=\frac{P}{P_0}$$

Откуда

$$P=\eta P_0=\frac{4}{29}\cdot 2000=276$$

Ответ: 276 Вт

Задача 3.

В холодильнике сломался выключатель, и лампочка подсветки мощностью P=25 Вт продолжает гореть даже при закрытой двери холодильника. Считая, что вся выделяемая на лампе мощность переходит в тепло, оцените, на сколько изменилась потребляемая холодильником электрическая мощность. Ответ дайте в Вт, округлив до десятых. Холодильник считайте идеальной тепловой машиной, которая поддерживает внутри постоянную температуру $t_1=+4^{\circ}$ C. Температура воздуха в комнате $t_2=+27^{\circ}$ C. Не забудьте, что лампочка тоже потребляет электроэнергию.

Решение. Переведем температуры:  $T_1=300$ K, $T_2=277$ K.

Определяем КПД идеальной машины:

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_2 }{T_1}=1-\frac{ 277 }{300}=0,077$$

Определяем холодильный коэффициент:

$$\varepsilon_{xol}=\frac{1}{\eta_{ideal}}-1=\frac{1}{0,077}-1=12,04$$

С другой стороны,

$$\varepsilon_{xol}=\frac{Q_2}{A}=\frac{P_0t}{Pt }$$

$$P=\frac{P_0}{\varepsilon_{xol}}=\frac{25}{12,04}=2,1$$

Эта мощность пойдет на удаление тепла, созданного лампой, из холодильника. А еще сама лампа потребляет 25 Вт. Итого мощность возрастет на $25+2,1=27,1$ Вт.

Ответ: 27,1 Вт

Задача 4.

Холодильник потребляет мощность 85 Вт. За какое время этот холодильник может заморозить 1 кг воды с начальной температурой $0^{\circ}$ C? Считать, что холодильник работает по обратному циклу Карно с температурами холодильника $−30^{\circ}$ C и нагревателя $+37^{\circ}$ C. Для оценки пренебрегите потерями тепла через стенки холодильника за время замерзания воды. Удельная теплота замерзания воды 334 кДж/кг. Ответ выразите в минутах, округлив до целого числа.

Решение. Переведем температуры:  $T_1=310$ K, $T_2=243$ K.

Определяем КПД идеальной машины:

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_2 }{T_1}=1-\frac{ 243 }{310}=0,216$$

Определяем холодильный коэффициент:

$$\varepsilon_{xol}=\frac{1}{\eta_{ideal}}-1=\frac{1}{0,216}-1=3,63$$

С другой стороны,

$$\varepsilon_{xol}=\frac{Q_2}{A}=\frac{Q_2}{Pt }$$

Так как у нас кило воды, то отобрать у нее нужно 334 кДж теплоты. Тогда

$$t=\frac{Q_2}{P\varepsilon_{xol}}=\frac{334000}{85\cdot 3,63}=1082,5$$

Если это время перевести в минуты, разделив на 60, получим 18 минут.

Ответ: 18 минут