Циклы

Хорошие "изворотливые" задачи для подготовки к олимпиадам. "Изворотливые" - потому что мало параметров дано в задаче, и надо извернуться, чтобы добыть ответ.

Задача 1.

Тепловая машина с рабочим телом в виде идеального одноатомного газа работает по циклу, состоящему из изотермы 1-2, изохоры 2-3 и адиабаты 3-1. Разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна $\Delta T$. Работа, совершаемая $\nu$ молями газа в изотермическом процессе, равна А. Найти КПД машины.

К задаче 1

Решение. По определению

$$\eta=1-\frac{Q_x}{Q_n}$$

Газ получает тепло в изотермическом процессе – это $Q_n$ (нагревателя), и отдает в изохорном  - это $Q_x$.

$$Q_n=A+\Delta U$$

Причем $\Delta U=0$  - процесс-то изотермический.

$$Q_n=A$$

Наоборот, тепло, отданное холодильнику, не будет содержать работы – т.к. процесс 2-3 изохорный и работа в нем нулевая.

$$Q_x=Q_{23}’=\Delta U_{23}’=\nu C_v \Delta T$$

Тогда

$$\eta=1-\frac{\nu C_v \Delta T }{A}$$

Ответ: $\eta=1-\frac{\nu C_v \Delta T }{A}$.

Задача 2.

Идеальный газ используется как рабочее тело в тепловой машине, работающей по циклу, состоящему из адиабатического расширения 1-2, изотермического сжатия 2-3 и изобарического расширения 3-1. КПД цикла равен $\eta$, при изотермическом сжатии над газом совершается работа $A_g$, $A_g>0$. Какую работу совершает машина в указанном цикле?

К задаче 2

Решение. Газ получает тепло в процессе 3-1

$$Q_n=Q_{31}$$

И отдает в процессе 2-3:

$$Q_x=Q_{23}$$

В процессе 1-2 теплообмена нет:

$$Q_{12}=0$$

Работа в цикле равна

$$A_z= Q_n- Q_x$$

$$Q_n=\frac{A_z}{\eta}$$

$$ A_z=\frac{A_z}{\eta}-Q_x$$

$$ A_z-\frac{A_z}{\eta}=-Q_x=-Q_{23}$$

$$ A_z\cdot\frac{\eta-1}{\eta}=-Q_{23}$$

$$ A_z=\frac{\eta}{1-\eta}Q_{23}=\frac{\eta}{1-\eta}A_g$$

Ответ: $ A_z=\frac{\eta}{1-\eta}A_g$.

Задача 3.

Идеальный одноатомный газ совершает циклический процесс $A$, состоящий из двух изохор и двух изобар. Затем тот же газ совершает аналогичный процесс $B$. КПД какого процесса больше? Пологая КПД процесса $A$ заданным и равным $\eta_A$, вычислите $\eta_B$. В обоих процессах $\Delta p_{21}=\Delta p_{32}=\Delta p$, $\Delta V_{21}=\Delta V_{32}=\Delta V$, но их числовые значения неизвестны.

К задаче 3

Решение.

Работа в любом их данных циклов равна $\Delta p \Delta V$.

Полученные в циклах количества теплоты:

$$Q_A=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_2)+\frac{5}{2}(p_2V_3-p_2V_2)$$

Введем обозначения давлений и объемов

$$Q_B=\frac{3}{2}(p_3V_1-p_2V_1)+\frac{5}{2}(p_3V_2-p_3V_1)$$

Преобразуем:

$$Q_A=\frac{3}{2} V_2 (p_2-p_1)+\frac{5}{2} p_2 ( V_3-V_2)= \frac{3}{2}\Delta p V_2+\frac{5}{2} p_2\Delta V$$

$$Q_B=\frac{3}{2}\Delta p V_1+\frac{5}{2} p_3\Delta V$$

Таким образом, КПД процесса $A$:

$$\eta_A=\frac{\Delta p \Delta V }{\frac{3}{2}\Delta p (V_1+\Delta V)+\frac{5}{2} (p_1+\Delta p)\Delta V }=\frac{\Delta p \Delta V }{\frac{3}{2}\Delta p V_1+\frac{3}{2}\Delta p \Delta V+\frac{5}{2} \Delta p\Delta V+ \frac{5}{2} p_1\Delta V }$$

$$\eta_A=\frac{2\Delta p \Delta V }{3\Delta p V_1+8\Delta p\Delta V+5p_1\Delta V}$$

Для цикла $B$:

$$\eta_B=\frac{\Delta p \Delta V }{\frac{3}{2}\Delta p V_1+\frac{5}{2} (p_1+2\Delta p)\Delta V }=\frac{2\Delta p \Delta V }{3\Delta p V_1+10\Delta p\Delta V+5p_1\Delta V}$$

Видно, что знаменатель у КПД цикла $B$ больше, значит, сам КПД меньше.

$$\frac{1}{\eta_B }=\frac{3\Delta p V_1+10\Delta p\Delta V+5p_1\Delta V}{2\Delta p \Delta V}=\frac{3\Delta p V_1+8\Delta p\Delta V+5p_1\Delta V}{2\Delta p \Delta V}+ \frac{2\Delta p \Delta V }{2\Delta p \Delta V }=\frac{1}{\eta_A}+1$$

$$\eta_B=\frac{\eta_A }{1+\eta_A }$$

Ответ: КПД цикла $A$ больше, КПД цикла $B$ равен $\eta_B=\frac{\eta_A }{1+\eta_A }$.