Задачи молекулярно-кинетической теории ЗФТШ -2

Люблю задачи, которые предлагает своим слушателям ЗФТШ МФТИ. Всегда что-то интересное!

Задача 4.

Один моль идеального газа совершает прямой цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Температуры, соответствующие состояниям 1 и 3, равны $T_1$ и $T_3$ соответственно. Точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Определить работу газа за цикл.

К задаче 4

Решение.

Работа газа за цикл:

$$A=(p_2-p_1)(V_2-V_1)$$

$$A_{23}=p_2(V_2-V_1)$$

$$\mid A_{41}\mid =p_1(V_2-V_1)$$

Работа за цикл равна

$$A= A_{23}- A_{41}=p_2V_2-p_2V_1-p_1V_2+p_1V_1$$

$$p_1V_1=\nu RT_1$$

$$p_2V_2=\nu R T_3$$

$$p_1V_2=\nu R T_4$$

$$p_2V_1=\nu RT_2$$

Но $T_2=T_4$, следовательно, $ p_1V_2= p_2V_1$.

Тогда

$$ A=\nu R T_3-\nu RT_2-\nu R T_4+\nu RT_1$$

Для процесса 1-2 (изохорный):

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

Откуда

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2}{T_1}$$

Для процесса 3-4:

$$\frac{p_2}{T_3}=\frac{p_1}{T_2}$$

Откуда

$$\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_3}{T_2}$$

Или, получается,

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_2}$$

Тогда

$$T_2=\sqrt{T_1T_3}$$

Вернемся к работе цикла:

$$ A=\nu R (T_3+T_1-2T_2)$$

$$ A=\nu R (T_3+T_1-2\sqrt{T_1T_3})$$

Ответ: $ A=\nu R (T_3+T_1-2\sqrt{T_1T_3})$

Задача 5.

КПД тепловой машины, работающей по циклу, состоящему из изотермы (1–2), изохоры (2–3) и адиабаты (3–1), равен $\eta$, а разность максимальной и минимальной температур газа в цикле равна $\Delta T$. Найти работу, совершаемую $\nu$ молями одноатомного идеального газа в изотермическом процессе.

К задаче 5

Решение: рассмотрим процесс 1-2: $T=const$, $\Delta U=0$, $A_{12}\neq 0$.

Процесс 2-3: $V=const$, $A_{23}=0$, $\Delta T_{23}=\Delta T$, $\Delta U=\frac{3}{2}\nu R\Delta T$.

И процесс 13: $Q_{13}=0$, $\mid A_{13}\mid =\Delta U$, $A_{13}=\frac{3}{2}\nu R\Delta T$.

По определению,

$$\eta=\frac{A_{cicle}}{Q}$$

$$\eta=\frac{A_{12}-A_{31}}{Q}$$

$$\eta=\frac{A_{12}-\frac{3}{2}\nu R\Delta T }{ A_{12}}$$

$$ \eta A_{12}= A_{12}-\frac{3}{2}\nu R\Delta T$$

$$\frac{3}{2}\nu R\Delta T= A_{12}-\eta A_{12}$$

$$ A_{12}=\frac{\frac{3}{2}\nu R\Delta T }{1-\eta}$$

Ответ: $ A_{12}=\frac{\frac{3}{2}\nu R\Delta T }{1-\eta}$