Задача с циклом (школьный этап олимпиады)

Задача.

С одним молем идеального одноатомного газа совершают циклический процесс $ABCDA$, состоящий из двух изохорных процессов $AB$ и $CD$, изобарного процесса $DA$ и процесса $BC$, в котором давление остается пропорциональным объему $p=KV$. Объемы газа в изохорных процессах составляют $V_A=V_B=10$ л и $V_C=V_D=22$ л; давление в изобарном процессе $DA$ равно $p_A=p_D=90$ кПа. Экспериментально установлено, что работа газа за один цикл составляет $W_z=1,8$ кДж.

а) Определите коэффициент $K$ (кПа/л), округлив до сотых долей.

б) Найдите давление газа в состоянии $B$, ответ запишите в кПа, округлив до целого числа.

в) Вычислите количество теплоты, подведенное к газу на участке $AB$. Ответ выразите в кДж, округлив до сотых долей.

г) Определите температуру газа в состоянии $C$. Ответ выразите в К, округлив до целого числа.

Рисунок к задаче

Решение. Будем исходить из данной работы за цикл: это же площадь цикла. В то же время наш цикл – трапеция, состоящая из прямоугольника и треугольника. Площадь прямоугольника можно найти: он зажат под процессом $DA$, это работа в изобарном процессе, давление в котором мы знаем, а объемы также даны. Итак,

$$\mid A_{DA}\mid=p_{DA}\Delta V_{DA}=90000\cdot (0,022-0,01)=1080$$

Тогда работа в процессе $BC$ - зажатая под ним площадь, которая равна

$$A_{BC}=W_z+\mid A_{DA}\mid=1800+1080=2880$$

Площадь трапеции, зажатой под процессом $BC$, равна

$$A_{BC}=\frac{p_B+p_C}{2}\cdot \Delta V_{DA}=\frac{K\cdot 0,01+K\cdot 0,022}{2}\cdot 0,012=2880$$

Здесь $p_B=K\cdot V_B=0,01K$.

Определяем $K$:

$$0,032K\cdot 0,012=2880\cdot 2$$

$$K=15 000 000$$

Па/м$^3$, или $K=15$ кПа/л.

Теперь можно определить давление в точке $B$:

$$p_B=K\cdot V_B=0,01K=150000$$

Или 150 кПа.

Процесс $AB$ - изохорный, работы в нем не совершается, значит, количество теплоты, полученное газом – это изменение внутренней энергии, которое определим как

$$Q_{AB}=\frac{3}{2}V_B\Delta p=\frac{3}{2}\cdot 0,01\cdot 60000=900$$

Температуру в точке $C$ определим из закона Менделеева-Клапейрона:

$$p_CV_C=\nu R T_C$$

$$p_C=K\cdot V_C=15000000\cdot 0,022=330000$$

$$T_C=\frac{ p_CV_C }{\nu R }=\frac{330000\cdot 0,022}{8,314}=873$$

Ответ: $K=15$ кПа/л; $p_B=150$ кПа; $Q_{AB}=900$ Дж; $T_C=873$ К.