Внутренняя энергия при жестко заданном законе изменения состояния газа

В этой статье собраны задачи, в которых состояние газа изменяется по определенному закону. Необходимо определить либо параметры первоначального состояния газа, либо изменение внутренней энергии.

К задаче 1

Задача 1.

Идеальный газ сжимают поршнем и одновременно подогревают. Во сколько раз изменится его внутренняя энергия, если объем газа уменьшить в $n= 5$ раз, а давление увеличить в $k= 7$ раз?

Составим уравнение по объединенному закону:

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

Подставим в это уравнение новую величину давления, а также объем:

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{7p_1\frac{1}{5}V_1}{T_2}$$

Тогда

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{5}{7}$$

Или

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{7}{5}=1,4$$

Так как внутренняя энергия пропорциональна температуре, то

$$\frac{U_2}{U_1}=\frac{7}{5}=1,4$$

Ответ: внутренняя энергия вырастет в 1,4 раза.

Задача 2.

Изменение состояния 1 моля идеального одноатомного газа происходит по закону $pV^n=const$. Найти изменение внутренней энергии при увеличении объема в 2 раза для случаев: а)$n=0$; б)$n=1$; в)$n=2$. Начальная температура газа $T_0=300$К.

Рассмотрим первый случай: $p=const$. Это изобарный процесс,

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}$$

$$T_2=\frac{V_2T_1}{V_1}=600$$

$$\Delta T=T_2-T_1=300$$

$$\Delta U_1=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\cdot8,31 \cdot 300=3739,5$$

Второй случай: $pV=const$. Так как давление падает вдвое (ведь объем по условию растет), то по объединенному газовому закону температура неизменна, и, следовательно, внутренняя энергия постоянна:  $\Delta U_2=0$.

Третий случай: $pV^2=const$.

Тогда $p_1V_1^2=p_2V_2^2$, или $\frac{p_1}{p_2}=4$.

По объединенному газовому закону

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{ p_2V_2}{ p_1V_1}=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Так как температура упала вдвое, то и внутренняя энергия тоже изменится вдвое:

$$\Delta T=T_2-T_1=-150$$

$$\Delta U_3=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=-\frac{3}{2}\cdot8,31 \cdot 150=-1869,8$$

Ответ: $\Delta U_1=3739,5$ Дж, $\Delta U_2=0$ Дж, $\Delta U_3=1869,8$ Дж.

Задача 3.

Один киломоль идеального одноатомного газа расширяется по закону $\frac{p}{V}=const$. При этом объем газа увеличивается втрое, а его внутренняя энергия увеличивается на $\Delta U = 9,972\cdot 10^6$ Дж. Какова была первоначальная температура газа?

Запишем для двух состояний:

$$\frac{p_1}{V_1}=\frac{p_2}{V_2}$$

Подставим $V_2=3V_1$:

$$\frac{p_1}{V_1}=\frac{p_2}{3V_1}$$

$$\frac{p_2}{p_1}=3$$

По объединенному газовому закону

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

Или

По объединенному газовому закону

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{3p_1\cdot3V_1}{T_2}$$

Тогда $T_2=9T_1$, следовательно, $\Delta T=T_2-T_1=8T_1$.

Теперь можно посчитать внутреннюю энергию, учитывая, что $\nu=1000$:

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R\cdot 8T_1=12\nu R T_1$$

$$T_1=\frac{\Delta U }{12\nu R }=\frac{9,972\cdot 10^6}{12\cdot1000\cdot8,31}=100$$

Ответ: начальная температура $T_1=100$ K.