Внутренняя энергия газа

Сегодня решим несколько задач на определение внутренней энергии газа и ее изменение в процессах, графики которых даны.

К задаче 1

Задача 1. Определить изменение внутренней энергии идеального одноатомного газа в процессе, изображением на $p-V$-диаграмме (см. рисунок), если $p_0 = 0,1$ МПа, $V_0 = 2$ л.

Внутренняя энергия определяется выражением:

$$U=\frac{3}{2}\nu R T$$

Или, так как $pV= \nu R T$,

$$U=\frac{3}{2} pV$$

Тогда в состоянии 1 внутренняя энергия равна

$$U_1=\frac{3}{2} p_0V_0$$

А в состоянии 2

$$U_2=\frac{3}{2} 1,5p_0\cdot3V_0=\frac{27}{4} p_0V_0$$

$$U_2-U_1=\frac{21}{4} p_0V_0=5,25 p_0V_0$$

Второй способ решения: составим уравнение по объединенному закону:

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

$$\frac{p_0V_0}{T_1}=\frac{1,5p_0\cdot3V_0}{T_2}$$

Откуда $T_2=4,5T_1$. То есть энергия изменилась в 4,5 раза, а, следовательно, $\Delta U=3,5U_1=\frac{21}{4} p_0V_0=5,25 p_0V_0$

$$\Delta U=5,25 \cdot 10^5\cdot 2\cdot10^{-3}=1100$$

Ответ: 1,1 кДж

Задача 2. Над идеальным одноатомным газом совершается процесс, в котором его давление изменяется пропорционально квадрату абсолютной температуры. При увеличении объема от $V_0 = 2$ л до $V= ЗV_0$ внутренняя энергия газа уменьшается на $\Delta U = 300$ Дж. Определить давление газа, когда он занимал объем $V_0$.

Запишем выражения для давлений газа в первом и втором состояниях:

$$p_1=\alpha T_1^2$$

$$p_2=\alpha (T_1+\Delta T)^2$$

Составим уравнение по объединенному закону:

$$\frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}$$

Подставим в это уравнение полученные величины давлений, а также известные объемы:

$$\frac{\alpha T_1^2V_0}{T_1}=\frac{\alpha (T_1+\Delta T)^2\cdot3V_0}{ T_1+\Delta T }$$

Или, сокращая,

$$T_1=(T_1+\Delta T)\cdot3$$

Откуда получаем, что изменение температуры равно

$$\Delta T=-\frac{2T_1}{3}$$

Минус говорит об уменьшении температуры.

Но изменение внутренней энергии пропорционально изменению температуры:

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R\frac{2T_1}{3}=\nu R T_1=p_0V_0$$

$$p_0=\frac{\Delta U }{V_0}=\frac{300}{2\cdot10^{-3}}=1,5\cdot10^5$$

Ответ: $p_0=1,5\cdot10^5$ Па.

Задача 3. Найти внутреннюю энергию смеси, состоящей из гелия массой $m_1 = 20$ г и неона массой $m_2= 10$ г  при температуре $T= 300$ K.

Внутренняя энергия гелия:

$$U_{He}=\frac{3}{2}\nu_{He} R T$$

Внутренняя энергия неона:

$$U_{Ne}=\frac{3}{2}\nu_{Ne} R T$$

Внутренняя энергия смеси – это сумма:

$$ U_{He}+ U_{Ne}=\frac{3}{2}RT\left(\frac{m_1}{M_{He}}+\frac{m_2}{M_{Ne}}\right)$$

$$ U_{He}+ U_{Ne}=\frac{3}{2}\cdot8,31\cdot300\left(\frac{20}{4}+\frac{10}{20}\right)=20567$$

Ответ: $ U_{He}+ U_{Ne}=2,1$ кДж