Три задачи с циклами

Задача 1.

В тепловом двигателе, рабочим телом которого является идеальный одноатомный газ, совершается циклический процесс, изображенный на рисунке. Отношение максимального объема газа к минимальному в этом цикле равно $n=3$. Найти работу газа за цикл, КПД цикла и количество теплоты, полученное газом за цикл.

Рисунок к первой задаче.

Решение.

Работа в цикле равна площади цикла

$$A=\frac{1}{2}(nV_0-V_0)(np_1-p_1)=\frac{1}{2}(n-1)^2p_1V_0$$

Здесь $p_1$ - давление в точке 1. Так как процесс 3-1 – прямая пропорциональность, то

$$\frac{p_3}{p_1}=\frac{V_3}{V_1}=n$$

$$p_3=np_1$$

Газ получает теплоту в процессах 1-2 и 2-3:

$$Q=Q_{12}+Q_{23}$$

Процесс 1-2 изохорный, в нем работы нет, поэтому

$$Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}(V_0\cdot np_1-p_1V_0)= \frac{3}{2}V_0p_1(n-1)$$

Процесс 2-3 изобарный, для него

$$Q_{23}=A_{23}+\Delta U_{23}=np_1(nV_0-V_0)+ \frac{3}{2}np_1(nV_0-V_0)$$

Тогда

$$Q=Q_{12}+Q_{23}= \frac{3}{2}V_0p_1(n-1)+ \frac{5}{2}nV_0p_1(n-1)=\frac{1}{2} V_0p_1(n-1)(3+5n)$$

КПД есть ни что иное, как отношение работы за цикл к количеству полученного в цикле тепла:

$$\eta=\frac{A}{Q}=\frac{\frac{1}{2}(n-1)^2p_1V_0}{\frac{1}{2} V_0p_1(n-1)(3+5n)}=\frac{n-1}{3+5n}=\frac{1}{9}$$

Ответ: работа в цикле $A=\frac{1}{2}(n-1)^2p_1V_0$, количество полученного в цикле тепла $Q=\frac{1}{2} V_0p_1(n-1)(3+5n)$, КПД цикла $\eta=\frac{1}{9}$.

Задача 2.

В тепловом двигателе, рабочим телом которого является один моль идеального одноатомного газа, совершается циклический процесс, изображенный на рисунке, где участок 3-1 – адиабатическое сжатие. Работа за один цикл составляет $A=625$ Дж, температура газа в состоянии 1 равна $T_1=300$ К, а КПД двигателя равен $\eta=30\%$. Найти температуру $T_2$ в состоянии 2. Ответ округлить до целых.

Рисунок ко второй задаче

Решение. КПД есть отношение работы за цикл к количеству полученного в цикле тепла:

$$\eta=\frac{A}{Q_{12}}$$

Откуда

$$Q_{12}=\frac{A}{\eta}=\frac{625}{0,3}=2083,3$$

С другой стороны

$$Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}=\nu R\Delta T+\frac{3}{2}\nu R\Delta T=\frac{5}{2}\nu R\Delta T$$

Следовательно,

$$\Delta T=\frac{2 Q_{12}}{5\nu R}=\frac{2\cdot 2083,3}{5\cdot8,31}=100,3$$

Таким образом,

$$T_2=T_1+\Delta T=400$$

Ответ: $T_2=400$ К.

Задача 3.

Идеальный газ совершает цикл, состоящий из изотермического расширения, изохорического охлаждения и адиабатического сжатия, КПД которого равен $\eta$. Определить, во сколько раз работа газа при расширении больше работы газа при сжатии и отношение отведенного тепла к работе газа за цикл.

Рисунок к третьей задаче

Решение. Отданное количество теплоты $Q_{otd}$ можно определить как

$$Q_{pol}-A=Q_{otd}$$

Газ получает тепло в процессе 1-2 ($Q_{pol}$), отдает – в процессе 2-3($Q_{otd}$), а в процессе 3-1 не обменивается теплотой с окружающими телами, поэтому $Q_{13}=A_{13}+\Delta U_{13}=0$. Кроме того, процесс 1-2 изотермический, поэтому $Q_{12}=A_{12}$, ибо $\Delta U_{12}=0$.

Работа за цикл может быть представлена как $A= A_{12}-A_{31}$, тогда

$$\frac{ Q_{otd}}{A}=\frac{ Q_{pol}-A }{A}=\frac{A_{12}-A_{12}+A_{31}}{ A_{12}-A_{31}}=\frac{A_{31}}{ A_{12}-A_{31}}=\frac{1}{\frac{A_{12}}{A_{31}}-1}$$

Отношение

$$\frac{A_{12}}{A_{31}}=\frac{ Q_{pol}}{ Q_{pol}-A}=\frac{1}{1-\frac{A}{ Q_{pol}}}=\frac{1}{1-\eta}$$

Откуда

$$\frac{ Q_{otd}}{A}=\frac{1}{\frac{1}{1-\eta}-1}=\frac{1-\eta}{\eta}$$

Ответ: работа газа при расширении больше работы газа при сжатии в $\frac{1}{1-\eta}$ раз, отношение отведенного тепла к работе газа за цикл равно $\frac{1-\eta}{\eta}$.