Прямая пропорциональная зависимость давления от объема

Задача.

При нагревании четырёх молей гелия давление p газа изменялось прямо пропорционально его объёму $V$ ($p = \alpha V$, где $\alpha$ – некоторая неизвестная константа). На сколько градусов поднялась температура гелия, если газу передали количество теплоты Q = 300 Дж?

Решение. Нарисуем график.

Прямая пропорциональная зависимость давления от объема

Здесь

$$p_1=\alpha V_1$$

$$p_2=\alpha V_2$$

Так как дано количество теплоты, используем первое начало термодинамики.

$$Q=A+\Delta U$$

$$A=\frac{p_1+p_2}{2}\cdot (V_2-V_1)=\frac{\alpha V_1+\alpha V_2}{2}\cdot (V_2-V_1)=\frac{\alpha}{2}(V_2^2-V_1^2)$$

$$\Delta U=\frac{3}{2}(p_2V_2-p_1V_1)= \frac{3}{2}(\alpha V_2^2-\alpha V_1^2)=\frac{3\alpha}{2}( V_2^2-V_1^2)$$

Таким образом,

$$Q=\frac{\alpha}{2}(V_2^2-V_1^2)+ \frac{3\alpha}{2}( V_2^2-V_1^2)=2\alpha( V_2^2-V_1^2)=300$$

Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для обоих состояний:

$$p_1V_1=\nu R T_1$$

$$p_2V_2=\nu R T_2$$

Или

$$\alpha V_1^2=\nu R T_1$$

$$\alpha V_2^2=\nu R T_2$$

Вычтем:

$$\alpha(V_2^2-V_1^2)=\nu R \Delta T$$

Откуда

$$\Delta T=\frac{\alpha(V_2^2-V_1^2)}{ \nu R }=\frac{150}{4\cdot 8,31}=4,51$$

Ответ: $\Delta T=4,5$ К.