Превращения внутренней энергии

В этой статье внутренняя энергия газа будет превращаться в кинетическую энергию поршней и наоборот: кинетическая энергия будет переходить во внутреннюю и разогревать газ.

К задаче 1

Задача 1. В длинной гладкой пустой (нет внешнего давления) теплоизолированной трубе находятся два поршня массами $m_1$ и $m_2$ , между которыми в объеме $V_0$ при давлении $p_0$ находится одноатомный газ. Поршни отпускают. Определить их максимальные скорости, если масса газа много меньше массы поршней.

Внутренняя энергия определяется выражением:

$$U=\frac{3}{2}\nu R T$$

Или, так как $p_0V_0= \nu R T$,

$$U=\frac{3}{2} p_0V_0$$

Вся энергия передастся поршням, и перейдет в кинетическую:

$$\frac{m_1\upsilon_1^2}{2}+\frac{m_2\upsilon_2^2}{2}=\frac{3}{2} p_0V_0$$

Или

$$ m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2=3p_0V_0$$

По закону сохранения импульса

$$m_1\vec{\upsilon_1}+ m_2\vec{\upsilon_2}=\vec{0}(m_1+m_2)$$

$$m_1\upsilon_1- m_2\upsilon_2=0$$

$$m_1\upsilon_1=m_2\upsilon_2$$

$$\frac{ m_1}{ m_2}=\frac{\upsilon_2}{\upsilon_1}$$

Тогда

$$\upsilon_2=\frac{ m_1\upsilon_1}{ m_2}$$

Возведем в квадрат:

$$\upsilon_2^2=\frac{ m_1^2\upsilon_1^2}{ m_2^2}$$

Подставим:

$$ m_1\upsilon_1^2+ m_2\upsilon_2^2=3p_0V_0$$

$$ m_1\upsilon_1^2+ m_2\frac{ m_1^2\upsilon_1^2}{ m_2^2}=3p_0V_0$$

$$ m_1\upsilon_1^2+ \frac{ m_1^2\upsilon_1^2}{ m_2}=3p_0V_0$$

$$\left(m_1+ \frac{ m_1^2}{ m_2}\right)\upsilon_1^2=3p_0V_0$$

$$\frac {m_1m_2+  m_1^2}{ m_2}\upsilon_1^2=3p_0V_0$$

$$\frac {m_1(m_2+  m_1)}{ m_2}\upsilon_1^2=3p_0V_0$$

$$ \upsilon_1^2=\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+  m_1)}$$

$$ \upsilon_1=\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+  m_1)}}$$

Определим скорость второго поршня:

$$\upsilon_2=\frac{ m_1}{ m_2}\upsilon_1=\frac{ m_1}{ m_2}\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+  m_1)}}= \sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2m_1^2}{ m_1m_2^2(m_2+  m_1)}}= \sqrt{\frac {3p_0V_0 m_1}{ m_2(m_2+  m_1)}}$$

Ответ: $ \upsilon_1=\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_2}{ m_1(m_2+  m_1)}}$, $\upsilon_2=\sqrt{\frac {3p_0V_0 m_1}{ m_2(m_2+  m_1)}}$.

Задача 2. Сосуд с гелием движется по прямой со скоростью $u = 100$ м/с. На сколько возрастет температура газа, если сосуд остановить? Объем сосуда $V$. Сосуд с газом теплоизолирован. Темлоемкостью сосуда пренебречь.

Кинетическая энергия сосуда перейдет в тепло. Тогда

$$\frac{m_1 \upsilon^2}{2}=\frac{3}{2}\nu R\DeltaT=\frac{3}{2}\frac{m_2}{M} R \Delta T$$

Масса сосуда $m_1$, а газа - $m_2$. Так как теплоемкостью сосуда пренебрегаем, то можно приравнять $m_1=m_2$.

$$\frac{\upsilon^2}{2}=\frac{3}{2}\frac{ R \Delta T }{M} $$

$$\Delta T=\frac{M\upsilon^2}{3R}=\frac{4\cdot10^{-3}\cdot10^4}{3\cdot8,31}=1,6 $$

Ответ: $\Delta T=1,6 $ K.

Задача 3. В закрытом сосуде находится гелий, взятый в количестве $\nu = 3$ моля при температуре $t = 27^{\circ}$ С. На сколько процентов увеличится давление в сосуде, если газу сообщить количество теплоты $Q = 3$ кДж?

Передаваемое газу тепло идет на увеличение его внутренней энергии и совершаемую работу. Но сосуд закрыт, поэтому изменения объема нет, а значит, нет и работы. Следовательно, все тепло пойдет на увеличение внутренней энергии:

$$Q=A+\Delta U$$

$$A=0$$

$$Q=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\nu R (T_2-T_1) $$

$$Q=\frac{3}{2}\nu R T_2-\frac{3}{2}\nu R T_1$$

$$\frac{3}{2}\nu R T_2=Q+\frac{3}{2}\nu R T_1$$

$$T_2=\frac{2 Q }{3\nu R } +T_1$$

Для изохорного процесса справедливо:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

$$p_2=\frac{p_1T_2}{T_1}$$

Подставим $T_2$:

$$p_2=\frac{p_1\left(\frac{2 Q }{3\nu R } +T_1\right)}{T_1}$$

$$p_2=p_1+p_1\frac{2 Q }{3\nu RT_1 }$$

$$p_2-p_1=p_1\frac{2 Q }{3\nu RT_1 }$$

$$\Delta p= p_1\frac{2 Q }{3\nu RT_1 }$$

$$\frac{\Delta p }{ p_1}=\frac{2 Q }{3\nu RT_1 }$$

Осталось выразить в процентах:

$$\frac{100\Delta p }{ p_1}=\frac{200 Q }{3\nu RT_1 }=\frac{6\cdot10^5}{3\cdot3\cdot8,31\cdot300}=26,7$$

Ответ: 26,7%