Подготовка в СУНЦ МГУ - МКТ-2. Экзамен в 11 класс.

Продолжаю серию статей по задачам экзамена в СУНЦ МГУ прошлых лет. Чем большее разнообразие задач будет вами освоено - тем больше шансов сдать экзамен.

Задача 1.

Представьте в координатах $V_T$ три изобары идеального газа: а) давление равно $p$, количество молей - $\nu$;  б) давление равно $2p$, количество молей - $\nu$;  в) давление равно $p$, количество молей - $2\nu$.

Изобразим изобару для давления $p$, и количества вещества $\nu$.

К задаче 1, рисунок 1

Если увеличить количество вещества, то при той же температуре давление будет вдвое больше:

К задаче 1, рисунок 2

Если давление увеличить вдвое при том же количестве вещества, то это означает, что температура будет меньше вдвое.

К задаче 1, рисунок 3

Задача 2.

Цилиндрический сосуд  разделен на две части легкоподвижным  поршнем. Слева от поршня - $\nu_1=1$ моль гелия, справа - $\nu_2=2$ моля аргона. Газы находятся при температуре $T_0$ и давлении $p_0$, при которых их можно считать идеальными. В правой  части цилиндра находится выпускной клапан, настроенный на давление $p_0$ (при давлении, превышающем $p_0$, он выпускает излишки газа). Цилиндр нагревают до температуры $2T_0$. Найдите суммарную внутреннюю энергию $U$ газов, находящихся в сосуде в конечном состоянии.

Для состояния до подогрева можно записать:

$$p_0V_{He}=\nu_{He} RT_0$$

$$p_0V_{Ar}=\nu_{Ar} RT_0$$

Откуда следует

$$\frac{ V_{He}}{ V_{Ar}}=\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}=\frac{1}{2}$$

При подогреве до температуры $2T_0$ давление останется тем же, а объем должен увеличиться вдвое, но: количество гелия никак не пострадает, а вот часть аргона утечет.  Аргон занимал $\frac{2}{3}$ объема сосуда, за счет расширения гелия ему останется только $\frac{1}{3}$, да еще он сам вдвое расширится, то есть по количеству вещества его останется $\frac{1}{4}$. Теперь можно посчитать внутреннюю энергию газов.

$$U=U_{He}+U_{Ar}=\frac{3}{2}\nu_{He} R\cdot 2T_0+\frac{3}{2}\nu_{Ar} R\cdot 2T_0=3T_0R(1+0,5)=4,5RT_0$$

Ответ: $U=4,5RT_0$.

Задача 3.

Идеальный одноатомный газ, нагревается сначала изобарно (1-2), а затем изохорно (2-3). Каким должно быть отношение $n$ конечного и начального объемов, чтобы теплоты, полученные на первой и второй стадиях процесса, были одинаковыми?

Заметим, что точки 1 и 3 лежат на одной прямой. Тогда для процесса 1-2 запишем:

$$Q_{12}=A_{12}+\Delta U_{12}=p\Delta V+\frac{3}{2}p\Delta V=\frac{5}{3} p\Delta V=\frac{5}{2} p V_0(n-1)$$

В процессе 2-3 работа равна 0, следовательно,

$$Q_{23}=\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\Delta p\cdot V=\frac{3}{2}\Delta p\cdot nV_0$$

Из подобия треугольников $M3N$ и $123$ заключаем, что $p_3= np_1=np$, поэтому

$$Q_{23}=\frac{3}{2} (np-p) nV_0$$

Так как по условию две теплоты равны, то

$$\frac{5}{2} p V_0(n-1)= \frac{3}{2} (np-p) nV_0$$

Откуда

$$n=\frac{5}{3}$$

Ответ: $n=\frac{5}{3}$.

Задача 4.

Начальное давление воздуха в сосуде $p_0=729$ мм.рт.ст. После трех ходов откачивающего поршневого насоса оно упало до $p=216$ мм.рт.ст. Считая процесс изотермическим, происходящим при комнатной температуре, найдите отношение объемов насоса $\Delta V$ и сосуда $V$.

Запишем уравнение Бойля-Мариотта для первого хода насоса.

$$p_1V_1=p_2(V_1+ \Delta V)$$

$$p_1=p_2\frac{ V_1+ \Delta V }{V_1}$$

Для второго хода:

$$p_2V_2=p_3(V_2+ \Delta V)$$

$$p_1=p_3\frac{ (V_1+ \Delta V) (V_2+ \Delta V) }{V_1V_2}$$

Но $V_1=V_2=V_3$, тогда

$$p_1=p_3\frac{ (V_1+ \Delta V)^2 }{V_1^2}$$

Тогда после трех ходов

$$\frac{p_4}{p_1}=\frac{V_1^3}{ (V_1+ \Delta V)^3}=\frac{8}{27}$$

Тогда

$$\frac{V_1}{ V_1+ \Delta V}=\frac{2}{3}$$

Откуда

$$\frac{\Delta V}{V}=0,5$$

Ответ: $\frac{\Delta V}{V}=0,5$.

Задача 5.

Один моль одноатомного идеального газа адиабатически сжимают, совершив над ним работу $A=25$ Дж. Насколько возрастет при этом его температура $T$?

Процесс адиабатический, обмена теплом с окружающими телами нет. Следовательно, $Q=0$.

$$Q=\Delta U-A$$

$$\Delta U=A$$

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=A$$

$$\Delta T=\frac{2A}{3\nu R}=\frac{50}{3\cdot1\cdot 8,31}=2$$

Ответ: $\Delta T=2$ К.