Первое начало: задачи посложнее

Согласно первому началу термодинамики, тепло, подводимое к газу, идет на выполнение им работы и на увеличение его внутренней энергии. Работу можно найти как площадь под графиком процесса в осях pV.

Задача 1. При изобарном нагревании одноатомного газа, взятого в количестве $\nu = 800$ молей, ему сообщили количество теплоты 9,4 МДж. Определить работу газа и изменение его внутренней энергии.

Давление газа остается постоянным, поэтому запишем закон Гей-Люссака:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{ T_2}$$

$$T_2=\frac{ V_2T_1}{ V_1 }$$

Подведенное тепло пойдет на работу и увеличение внутренней энергии:

$$Q=\Delta U+A=\frac{3}{2}\nu R \Delta T+p\Delta V$$
$$Q=\frac{3}{2}\nu R(T_2-T_1)+p\Delta V$$
$$Q=\frac{3}{2}\nu R(\frac{ V_2T_1}{ V_1 }-T_1)+p\Delta V$$
$$Q=\frac{3}{2}\nu R T_1(\frac{ V_2}{ V_1 }-1)+p\Delta V$$
$$Q=\frac{3}{2V_1}\nu R T_1(V_2- V_1)+p\Delta V$$
$$Q=(\frac{3}{2V_1}\nu R T_1+p) \Delta V=(\frac{3}{2}p+p) \Delta V=\frac{5}{2}p \Delta V$$

Тогда работа

$$A= p \Delta V=\frac{2Q}{5}=3,76\cdot10^6$$

А внутренняя энергия

$$\Delta U=Q-A=\frac{3Q}{5}=5,64\cdot10^6$$

Ответ: $A=3,76$ МДж, $\Delta U=5,64$ МДж.

Задача 2. Гелий объемом $V_0= 1$ м$^3$ при  $0^{\circ}$С находится в цилиндрическом сосуде, закрытом сверху скользящим поршнем массой $m = 1$ т и площадью сечения $S = 0,5$ м$^2$. Атмосферное давление $p_0 = 973$ гПа. Какое количество теплоты потребуется для нагревания гелия до температуры $T=300^{\circ}$ С? Каково изменение его внутренней энергии? Трение не учитывать.

Когда газ начнут нагревать, он будет расширяться. Следовательно, будет совершать работу. Поэтому просто нагреть его не получится: придется учесть еще и энергию, которая уйдет на расширение. Давление газа будет оставаться постоянным, поэтому запишем закон Гей-Люссака:

$$\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{ T_2}$$

$$V_2=\frac{V_1T_2}{T_1}$$

Давление остается постоянным и равным

$$p=\frac{mg}{S}+p_0$$

Тогда работа газа

$$A=p\Delta V=\left(\frac{mg}{S}+p_0\right)(V_2-V_1)$$

Внутренняя энергия газа будет меняться пропорционально температуре (гелий – газ одноатомный):

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$$

Количество газа можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$$\nu R=\frac{p_1V_1}{T_1}$$

Тогда

$$\Delta U=\frac{3 p_1V_1}{2 T_1}\Delta T=\frac{3 V_1}{2 T_1}\Delta T \left(\frac{mg}{S}+p_0\right) $$

Определяем теперь количество теплоты:

$$Q=\Delta U+A=\frac{3 V_1}{2 T_1}\Delta T \left(\frac{mg}{S}+p_0\right)+ \left(\frac{mg}{S}+p_0\right)(V_2-V_1)= \left(\frac{mg}{S}+p_0\right) \left(\frac{3 V_1}{2 T_1}\Delta T + \frac{V_1T_2}{T_1}-V_1 \right)$$

$$Q= \left(\frac{mg}{S}+p_0\right)V_1 \left(\frac{3 }{2 }\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)+ \left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)\right)=\frac{5}{2}\left(\frac{mg}{S}+p_0\right)V_1\left(\frac{T_2}{T_1}-1\right)$$

Осталось числа подставить:

$$Q=\frac{5}{2}\left(\frac{10000}{0,5}+973\cdot10^2\right)\left(\frac{273+300}{273}-1\right)=322253$$

Ответ: 322 кДж

Задача 3. Идеальный одноатомный газ участвует в процессе 1--2--3. представленном на рисунке . Найти отношение количества теплоты, полученного газом, к работе, совершенной газом.

К задаче 3

Рассмотрим процесс 1-2. Это изохорический процесс, при котором работа газом не совершается. Газ не меняет объема, но давление его падает – он остывает. В точке 1 внутренняя энергия газа равна

$$U_1=\frac{3}{2}\nu R T_1=\frac{3}{2}p_1V_0=\frac{3}{2}2p_0V_0=3p_0V_0$$

Теперь посмотрим на процесс 2-3. Это не изопроцесс: растет как объем, так и давление. По сравнению с точкой 1 в точке 3 объем газа вдвое больше. Следовательно, если бы мы переводили газ непосредственно из 1 в 3, то его температуру пришлось бы увеличить вдвое: $T_3=2T_1$. Получается, что и внутренняя энергия газа в точке 3 вдвое больше, чем в точке 1:

$$U_3=\frac{3}{2}\nu R T_3=\frac{3}{2}p_3V_3=\frac{3}{2}2p_0\cdot2V_0=6p_0V_0$$

То есть изменение внутренней энергии газа равно

$$\Delta U= U_3- U_1=3p_0V_0$$

Но и работу газ в процессе 2-3 совершил. Эту работу можено определить как площадь под графиком процесса 2-3. По форме это трапеция, и мы воспользуемся формулой площади трапеции:

$$A=\mid S \mid=\frac{p_0+2p_0}{2}\cdot(2V_0-V_0)=1,5p_0V_0$$

Тогда количество теплоты, подведенное к газу, равно

$$Q=A+\Delta U=1,5p_0V_0+3p_0V_0=4,5p_0V_0$$

Нам нужно было определить отношение количества теплоты к работе:

$$\frac{Q}{A}=\frac{4,5p_0V_0}{1,5p_0V_0}=3$$

Ответ: 3.