Передаем газу тепло

При решении таких задач важно не забыть про работу: первым делом убедиться в том, что газ ее не совершает (или наоборот, совершает), а это можно заключить из того, меняется ли его объем. Кроме того, важно помнить про число степеней свободы: у одноатомного газа i=3, у двухатомного - 5.

Задача 1. Одноатомный идеальный газ, первоначально занимающий объем $V_1 = 2$ м$^3$, изохорически перевели в состояние, при котором его давление увеличилось на $\Delta p = 0,2$ МПа. Какое количество теплоты сообщили газу?

Так как процесс изохорический и объем постоянен, то работы газ не совершает. Поэтому все переданное ему тепло пойдет на увеличение его внутренней энергии:

$$Q=A+\Delta U$$

$$A=0$$

$$Q=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$$

Закон Шарля:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

Перепишем:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_1+\Delta p}{T_1+\Delta T}$$

Или

$$\frac{T_1+\Delta T }{T_1 }=\frac{p_1+\Delta p }{p_1 }$$

$$1+\frac{\Delta T }{T_1 }=1+\frac{\Delta p }{p_1 }$$
$$\frac{\Delta T }{T_1 }=\frac{\Delta p }{p_1 }$$

Откуда

$$\Delta T=\frac{\Delta p}{p_1}T_1$$

Из уравнения состояния

$$T_1=\frac{p_1V_1}{\nu R}$$

Подставим:

$$\Delta T=\frac{\Delta p}{p_1}\cdot\frac{p_1V_1}{\nu R}=\frac{\Delta pV_1}{\nu R }$$

Получим изменение внутренней энергии:

$$\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3}{2}\Delta pV_1=\frac{3}{2}\cdot 0,2\cdot10^6\cdot 2=0,6\cdot10^6$$

Ответ: 600 кДж
Задача 2. В баллоне объемом $V= 1$ л находится кислород под давлением $p = 10^7$ Па при температуре $T = 300$ K. К газу подводят количество теплоты 8,35 кДж. Определить температуру и давление газа после нагревания.

Так как процесс изохорический и объем постоянен, то работы газ не совершает. Поэтому все переданное ему тепло пойдет на увеличение его внутренней энергии:

$$Q=A+\Delta U$$

$$A=0$$

Кислород - $O_2$ - не одноатомный газ, поэтому число степеней свободы $i=5$.

$$Q=\Delta U=\frac{5}{2}\nu R \Delta T=\frac{5}{2}\nu R (T_2-T_1) $$

Тогда

$$Q=\frac{5}{2}\nu R T_2-\frac{5}{2}\nu R T_1$$

$$\frac{5}{2}\nu R T_2=\frac{5}{2}\nu R T_1+Q$$

$$T_2=T_1+\frac{2 Q} {5\nu R }$$

Закон Шарля:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

Перепишем:

$$p_2=\frac{p_1T_2}{T_1}=\frac{p_1}{T_1}\left( T_1+\frac{2 Q} {5\nu R }\right)$$

Надо бы определить еще величину $\nu R$, это можно сделать из уравнения состояния:

$$p_1V_1=\nu RT_1$$

$$\nu R=\frac{ p_1V_1}{ T_1}$$

Тогда:

$$p_2=\frac{p_1}{T_1}\left( T_1+\frac{2 QT_1} {5p_1V_1}\right)$$

$$p_2=p_1+\frac{2 Q} {5V_1}\right)=10^7+\frac{16700}{5\cdot10^{-3}}=1,33\cdot10^7$$

Определим температуру:

$$T_2=T_1+\frac{2 QT_1} {5p_1V_1 }$$

$$T_2=300+\frac{16700\cdot 300} {5\cdot10^7\cdot10^{-3}}=300+\frac{167\cdot3}{5}=400,2$$

Ответ: $p_2=1,33\cdot10^7$ Па, $T_2=400,2$ К.

Задача 3. В баллоне содержится одноатомный газ $\nu= 4$ моля при температуре $T = 300$ К. При нагревании баллона средняя квадратичная скорость молекул газа увеличилась в $n = 1,3$ раза. Какое количество теплоты сообщили газу?

Скорость молекул определяется выражением:

$$\upsilon_1=\sqrt{\frac{3kT_1}{m_0}}$$

$$\upsilon_1^2=\frac{3kT_1}{m_0}$$

Тогда после нагревания скорость молекул будет

$$\upsilon_2=1,3\upsilon_1$$

А в квадрате:
$$\upsilon_2^2=1,69\upsilon_1^2=1,69\frac{3kT_1}{m_0}~~~~~~~~(1)$$

Но с другой стороны

$$\upsilon_2^2=\frac{3kT_2}{m_0}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Разделим уравнения друг на друга (2 разделим на 1):

$$\frac{T_2}{T_1}=1,69$$

$$T_2=1,69T_1$$

$$\Delta T=T_2-T_1=1,69T_1-T_1=0,69T_1$$

Так как газ работы не совершал, то $Q=\Delta U=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$:

$Q=\frac{3}{2}\nu R \Delta T=\frac{3\nu R \cdot0,69T_1}{2}=\frac{12\cdot8,31 \cdot0,69\cdot300}{2}=10321$$

Ответ: 10,3 кДж