Максимальный КПД цикла

Задача.

Тепловой цикл, производимый с одноатомным идеальным газом, состоит из двух изохор и двух изобар. Найдите максимальный КПД такого цикла. 

Решение. Давайте сначала просто найдем КПД. Для этого нам понадобится работа за цикл (найдем ее как площадь цикла) и полученное за цикл количество теплоты. Работа за цикл:

$$A_z=(\alpha p_0-p_0)\cdot (\beta V_0-V_0)= p_0V_0\cdot(\alpha-1)(\beta-1)$$

Полученное тепло:

$$Q=Q_{12}+Q_{23}$$

Процесс 1-2 – изохорный, в нем работа не совершается, поэтому

$$ Q_{12}=\Delta U_{12}=\frac{3}{2}\left(\alpha p_0V_0- p_0V_0\right)$$

$$ Q_{12}=\frac{3}{2} p_0V_0(\alpha-1)$$

Процесс 2-3 – изобарный, поэтому

$$ Q_{23}=A_{23}+\Delta U_{23}$$

$$ A_{23}=\alpha p_0(\beta V_0-V_0)$$

$$\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\left(\alpha p_0\cdot\beta V_0- \alpha p_0V_0\right)$$

$$ Q_{23}=\alpha p_0V_0(\beta-1)+ \frac{3}{2} \alpha p_0V_0(\beta-1)=\frac{5}{2} \alpha p_0V_0(\beta-1)$$

Значит, полное количество теплоты, полученное газом, равно

$$Q=\frac{3}{2} p_0V_0(\alpha-1)+ \frac{5}{2} \alpha p_0V_0(\beta-1)$$

Теперь запишем КПД:

$$\eta=\frac{ A_z }{Q}=\frac{ p_0V_0\cdot(\alpha-1)(\beta-1)}{ \frac{3}{2} p_0V_0(\alpha-1)+ \frac{5}{2} \alpha p_0V_0(\beta-1)}$$

$$\eta=\frac{ (\alpha-1)(\beta-1)}{ \frac{3}{2} (\alpha-1)+ \frac{5}{2} \alpha (\beta-1)}$$

$$\eta=\frac{ 2(\alpha -1)(\beta-1)}{ 3(\alpha-1)+ 5\alpha (\beta-1)}$$

$$\eta=\frac{ 2\alpha\beta-2\alpha-2\beta+2}{5\alpha\beta-3-3\alpha}$$

Чтобы определить максимальный КПД, нужно бы взять производную. Преобразуем выражение:

$$\eta=\frac{ 2-\frac{2}{\beta}-\frac{2}{\alpha}+\frac{2}{\alpha\beta}}{5-\frac{3}{\alpha\beta } -\frac{2}{\beta}}$$

Устремим к бесконечности обе величины (и $\alpha$, и $\beta$). Предел полученного выше отношения при данных условиях равен $\frac{2}{5}$.

Ответ: 40%.