Две задачки из Белолипецкого

Задача 1.

Некоторая масса газа занимает объем $V_1$ при давлении $p_1$ и температуре $T_1$. Затем газ при постоянном объеме нагревают до температуры $T_2=2T_1$. После этого происходит расширение газа при постоянном давлении до объема $V_2=4V_1$. Затем газ возвращают в начальное состояние таким образом, что во время этого процесса $pV^n=const$ (политропный процесс). Определите показатель политропы $n$.

Решение. Состояние этой порции газа перед началом политропного процесса характеризуется давлением $2p_1$ - оно стало таким в изохорном процессе, когда газ нагрели до $2T_1$, и объемом $4V_1$. Таким образом, уравнение политропы таково:

$$p_1 V_1^n=p_2V_2^n$$

$$ p_1 V_1^n=2p_1\cdot (4V_1)^n$$

Сократим на $p_1$ и $V_1^n$:

$$1=2\cdot 4^n$$

Откуда $n=-\frac{1}{2}$.

Ответ: $n=-\frac{1}{2}$.

Задача 2.

Горизонтально расположенный сосуд закрыт легким подвижным поршнем и содержит по $\nu=1$ моль гелия и кислорода. Внешнее давление равно нулю. Поршень удерживается пружиной, длина которой в недеформированном состоянии пренебрежимо мала. Какое количество теплоты $\Delta Q$ надо сообщить газу, чтобы увеличить его температуру на $\Delta T=1$ К? Теплоемкостью пружины, сосуда и поршня пренебречь.

Рисунок к задаче 2 (взят из задачника Белолипецкого и Ерковича)

Решение. Так как внешнее давление равно нулю, то сила давления газа равна силе упругости

$$pS=kx$$

Откуда следует, что давление газа постоянно.

Тогда при нагреве газы совершат одинаковую работу

$$A=\nu R \Delta T$$

Но гелий – одноатомный газ, а кислород – двухатомный. Следовательно, изменение внутренней энергии гелия

$$\Delta U_{He}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$$

А изменение внутренней энергии кислорода

$$\Delta U_{O_2}=\frac{5}{2}\nu R \Delta T$$

Тогда $\Delta Q$ состоит из теплоты, переданной гелию, и теплоты, переданной кислороду:

$$\Delta Q=Q_{He}+Q_{O_2}= A_{He}+\Delta U_{He}+A_{O_2}+\Delta U_{O_2}$$

$$\Delta Q=\nu R \Delta T+\frac{3}{2}\nu R \Delta T+\nu R \Delta T+\frac{5}{2}\nu R \Delta T=6\nu R\Delta T$$

Ответ: $\Delta Q=6\nu R\Delta T$.