Тепловые насосы, задачи Сириуса

Задача 1.

Летом при температуре в помещении $t_1=27^{\circ}$ C  морозильник при работе на полную мощность поддерживал температуру в камере $t_2=−23^{\circ}$ C. Зимой температура в помещении упала до значения $t_3=7^{\circ}$ C. Какой будет температура в камере морозильника, если включить его на полную мощность? Ответ запишите в $^{\circ}$ C, округлив до целого числа. Считайте, что мощность теплообмена между морозильником и помещением пропорциональна разности температур.

Решение. Известно, что по закону Ньютона-Рихмана мощность теплообмена пропорциональна разности температур. Удаляемая из морозильной камеры энергия может быть записана как

$$W=\frac{k(T_n-T_x)^2}{T_x}$$

Тогда

$$W_1=k\cdot \frac{\Delta T^2}{T_{x1}}$$

$$W_2=k\cdot \frac{\Delta T_{nov}^2}{T_{x2}}$$

Так как в обоих случаях работа на полную мощность, то

$$\frac{\Delta T^2}{T_{x1}}=\frac{\Delta T_{nov}^2}{T_{x2}}$$

$$\frac{50^2}{250}=\frac{(280-T_{nov})^2}{ T_{nov}}$$

$$10 T_{nov}=(280-T_{nov})^2$$

$$ T_{nov}^2-570T_{nov}+280^2=0$$

$$ T_{nov}=231,5$$

$$ t_{nov}=-41,5$$

Ответ: $-41^{\circ}$

Задача 2.

С помощью электрической батареи мощностью 2 кВт в небольшом домике поддерживается температура $17^{\circ}$ C при температуре наружного воздуха $−23^{\circ}$ C. Какая температура установится в домике, если батарею выключить и обогревать домик только с помощью идеальной тепловой машины мощностью 300 Вт? Тепловая машина установлена снаружи. Ответ запишите в $^{\circ}$C, округлив до целого числа.

Решение. Переведем температуры: $T_n=17+273=290$ К,  $T_x=-23+273=250$ К.

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_x }{T_n}=1-\frac{ 250 }{290}=\frac{4}{29}$$

Отопительный коэффициент, с одной стороны, равен

$$\varepsilon_{otop}=\frac{1}{\eta_{ideal}}=\frac{29}{4}$$

С другой стороны,

$$\varepsilon_{otop}=\frac{Q_1}{A}=\frac{P_2}{P_{ideal}}$$

Откуда

$$P_2=\varepsilon_{otop} P_{ideal}=\frac{29}{4}\cdot 300=2175$$

Столько  джоулей вместо батареи будет поступать от идеальной тепловой машины в единицу времени.

Известно, что по закону Ньютона-Рихмана мощность теплообмена пропорциональна разности температур. Поступающая в помещение энергия может быть записана как

$$W=\frac{k(T_n-T_x)^2}{T_x}$$

Тогда

$$\frac{P_1}{t}=\frac{k(T_{n1}-T_x)^2}{T_x}$$

$$\frac{k}{ T_x t}=\frac{P_1}{(T_{n1}-T_x)^2}$$

Здесь $P_1=2000$ Вт – тепло в единицу времени, поступающее от нагревателя.

$$\frac{P_2}{t}=\frac{k(T_{n2}-T_x)^2}{T_x}$$

$$\frac{k}{ T_x t}=\frac{P_2}{(T_{n2}-T_x)^2}$$

Здесь $P_2=2175$ Вт – тепло в единицу времени, поступающее от идеальной тепловой машины.

Приравняем правые части двух выражений, поскольку равны левые:

$$\frac{P_1}{(T_{n1}-T_x)^2}=\frac{P_2}{(T_{n2}-T_x)^2}$$

$$\frac{2000}{(290-250)^2}=\frac{2175}{(T_{n2}-250)^2}$$

$$(T_{n2}-250)^2=\frac{2175\cdot 40^2}{2000}=1740$$

$$ T_{n2}-250=\sqrt{1740}=41,71$$

$$ T_{n2}=291,71$$

$$ t_{n2}=18,71^{\circ}$$

Ответ: $19^{\circ}$

Задача 3.

При температуре воздуха на улице $+35^{\circ}$ C кондиционер поддерживает в небольшом домике температуру $+25^{\circ}$ C. Во сколько раз нужно увеличить потребляемую кондиционером мощность, чтобы температура воздуха в комнате снизилась до $+20^{\circ}$ C? Ответ округлите до сотых. Считайте, что кондиционер является идеальной холодильной машиной, а компрессор кондиционера установлен снаружи помещения.

Решение. Переведем температуры: $T_n=35+273=308$ К,  $T_{x1}=25+273=298$ К, $T_{x2}=20+273=293$ К.

Определяем КПД идеальной машины:

$$\eta_{ideal}=1-\frac{ T_x }{T_n}=1-\frac{ 298 }{308}=\frac{10}{308}$$

Холодильный коэффициент, с одной стороны, равен

$$\varepsilon_{hol}=\frac{1}{\eta_{ideal}}-1=\frac{308}{10}-1=29,8$$

С другой стороны,

$$\varepsilon_{hol}=\frac{Q_2}{A}$$

Известно, что по закону Ньютона-Рихмана мощность теплообмена пропорциональна разности температур. Удаляемая из помещения энергия может быть записана как

$$W=\frac{k(T_n-T_x)^2}{T_x}$$

$$W_1=k\cdot \frac{\Delta T^2}{T_{x1}}$$

$$W_2=k\cdot \frac{\Delta T_{nov}^2}{T_{x2}}$$

Приравняем $k$, выраженные из этих равенств:

$$\frac{W_1 T_{x1}}{\Delta T^2}=\frac{W_2 T_{x2}}{\Delta T_{nov}^2}$$

$$\frac{W_1 T_{x1}}{\Delta T^2}=\frac{W_2 T_{x2}}{\Delta T_{nov}^2}$$

$$\frac{W_2}{W_1}=\frac{ T_{x1}\Delta T_{nov}^2}{\Delta T^2 T_{x2}}=\frac{ 298\cdot 15^2}{10^2\cdot 293}=2,288$$

Ответ:  в $2,29$ раза.