Задачник Добродеева, поверхностное натяжение

13.1.

Какую работу $А$ надо совершить, чтобы надуть мыльный пузырь радиусом $r = 4$ см? Для мыльного раствора коэффициент поверхностного натяжения $\sigma = 0,04$ Н/м.

Решение.

$$A=\sigma \Delta S=\sigma \cdot 4 \pi r^2=0,04\cdot 4\cdot \pi\cdot 0,04^2=8\cdot 10^{-4}$$

Ответ: $A=8\cdot 10^{-4}$ Дж

13.3.

В двух капиллярных трубках разного диаметра, опущенных в воду, установилась разность уровней $h_1 =2,6$ см. При опускании этих же трубок в спирт разность уровней оказалась равной $h_2 = 1$ см. Зная коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 0,073$ Н/м, найти $\sigma_c$ для спирта.

Решение. Вес столбика

$$\rho g V=\rho g \cdot \pi r^2 h=\sigma\cdot 2\pi r$$

$$\rho g h=\frac{2\sigma}{r}$$

$$h=\frac{2\sigma}{r \rho g}$$

Тогда для воды

$$\Delta h_v=\frac{2\sigma_v}{r_1 \rho_v g}-\frac{2\sigma_v}{r_2 \rho_v g}$$

Для спирта

$$\Delta h_{sp}=\frac{2\sigma_{sp}}{r_1 \rho_{sp} g}-\frac{2\sigma_{sp}}{r_2 \rho_{sp} g}$$

Отношение

$$\frac{\Delta h_v }{\Delta h_{sp}}=\frac{\sigma_v }{\sigma_{sp}}\cdot \frac{\rho_{sp}}{\rho_v }$$

$$\sigma_{sp}=\frac{\sigma_v \Delta h_{sp}\rho_{sp}}{\Delta h_v \rho_v }=\frac{0,073\cdot 790\cdot 0,01}{10^3\cdot 0,026}=0,022$$

Ответ: 0,02 Н/м.

13.4.

На какую высоту $h$ поднимается вода между двумя параллельными стеклянными пластинками, находящимися на расстоянии $l = 0,2$ мм друг от друга?

Решение.

$$\Delta p=\frac{\sigma}{R}=\frac{2\sigma}{d}$$

С другой стороны,

$$\Delta p=\rho g h$$

$$\rho g h=\frac{2\sigma}{d}$$

$$h=\frac{2\sigma }{d g \rho}=\frac{2\cdot 0,073}{0,0002\cdot 10000}=0,073$$

Ответ: 7,3 см.

13.5.

Капля ртути массой $m = 1$ г помещена между двумя горизонтальными параллельными стеклянными пластинками. Какую силу $F$ надо приложить к верхней пластинке, чтобы капля ртути приняла форму диска радиусом $R = 5$ см? Считать, что ртуть совершенно не смачивает стекло. Коэффициент поверхностного натяжения ртути $\sigma = 0,51$ Н/м.

Решение. Сделаем рисунок. С условием абсолютной несмачиваемости линия стекла является касательной к капле:

Рисунок к задаче 13.5

Сила давления по определению

$$F=pS=p\cdot \pi R^2$$

По закону Паскаля давление во всех точках капли одинаково, значит, «бочкA» капли – полусферы с постоянным радиусом $r$, который, очевидно, $r=\frac{d}{2}$, где $d$ - расстояние между пластинами. Сама же форма капли не сферическая, $R>>r$. Поэтому формула, применяемая ранее ($p=\frac{2\sigma}{r}$) не подходит.

Придется разрезать каплю по горизонтали и записать условия равновесия для ее половинки. Сила поверхностного натяжения и давления с внешней стороны уравновешивается силой давления другой половинки капли:

$$p\cdot \pi (R+r)^2=\sigma\cdot 2\ pi (R+r)+p\cdot \pi R^2$$

$$p\left((R+r)^2-R^2\right)=\sigma \cdot 2(R+r)$$

$$p(2Rr+r^2) =\sigma \cdot 2(R+r)$$

$$p=\frac{\sigma \cdot 2(R+r)}{r(2R+r)}=\frac{\sigma(2R+2r)}{r(2R+r)}$$

Скобки сокращаем (условие $R>>r$)

Тогда

$$F= \frac{\sigma }{r}\cdot \pi R^2$$

Объем капли равен приблизительно

$$V\approx \pi R^2\cdot 2r=\frac{m}{\rho}$$

Откуда

$$r=\frac{m}{2\rho \pi R^2}$$

Подставляем:

$$F=\frac{\sigma \cdot \pi R^2\cdot 2\rho \pi R^2}{m}=\frac{\sigma \cdot 2\pi^2 R^4\rho}{m}=\frac{0,51\cdot 2\pi^2 \cdot 0,05^4\cdot 13600}{0,001}=856$$

Ответ: 856 Н

13.6.

Капля воды массой $m = 0,01$ г введена между двумя параллельными стеклянными пластинками, полностью смачиваемыми водой. Найти силу $F$ притяжения между пластинками, если они находятся на расстоянии $d = 10$ мкм друг от друга.

Решение. При полном смачивании картинка будет в некотором роде противоположной той, что в задаче 13.5.

Рисунок к задаче 13.6

По-прежнему, $2r=d$, $V=\pi R^2 d$.

$$\frac{m}{\rho}=\pi R^2 d$$

$$R=\sqrt{\frac{m}{\rho \pi d}}$$

По определению,

$$\Delta p=\sigma\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)$$

$$\Delta p=\sigma\left(\sqrt{\frac{\rho \pi d}{m}}-\frac{2}{d}\right)$$

Тогда сила

$$F=\Delta p S=\sigma\left(\sqrt{\frac{\rho \pi d}{m}}-\frac{2}{d}\right)\cdot \pi R^2$$

$$F=\sigma\left(\sqrt{\frac{\rho \pi d}{m}}-\frac{2}{d}\right)\cdot \pi \cdot \frac{m}{\rho \pi d}=14,6$$

Ответ: 14,6 Н.

 

 

13.7.

Оценить, сколько можно унести воды в решете? Размер ячейки $S_1 = 1$ мм$^2$ , площадь решета $S = 0,1$ м$^2$. Решето водой  не смачивается.

Решение. Пусть в каждой ячейке решета возникает мениск. Мы будем его считать круглым, пренебрежем тем, что форма ячеи – квадрат. Диаметр этого мениска равен 1 мм, следовательно, радиус – 0,5 мм или $5\cdot 10^{-4}$ м.

По определению,

$$\sigma=\frac{F}{l}=\frac{pS}{l}=\frac{p\cdot d^2}{4d}=\frac{pd}{4}$$

Откуда

$$p=\frac{4\sigma}{d}=\frac{2\sigma}{r}$$

С другой стороны,

$$p=\rho g h$$

Тогда

$$\rho g h =\frac{2\sigma}{r}$$

$$h=\frac{2\sigma}{\rho g r}$$

Масса воды, уносимой в решете, равна

$$m=\rho V=\rho Sh=\rho \cdot S \cdot \frac{2\sigma}{\rho g r}=\frac{2\sigma S}{gr}=\frac{2\cdot 0,073\cdot 0,1}{10\cdot 5\cdot 10^{-4}}=2,92$$

Ответ: 2,92 кг воды.

13.8.

Какую энергию нужно затратить, чтобы: а) разбить сферическую каплю ртути радиусом $r = 3$ мм на две одинаковые капли; б) увеличить вдвое объем мыльного пузыря радиусом $r = 1$ см?

Решение. Коэффициент поверхностного натяжения ртути $\sigma_{Hg}=0,51$ Н/м. Чтоб создать каплю радиусом $r$, нужно затратить энергию

$$W=\sigma S=\sigma\cdot 4\pi r^2=0,51\cdot 4\pi\cdot 0,003^2=576,8\cdot 10^{-7}$$

Капля с вдвое меньшим объемом имеет вдвое меньший $r^3$, а сам радиус такой капли меньше в $\sqrt[3]{2}$. Тогда поверхность такой капли меньше в $\sqrt[3]{4}$ раз, значит, энергия для ее создания тоже меньше в $\sqrt[3]{4}$ раз, то есть равна $363,4\cdot 10^{-7}$ Дж. На две капли надобно $726,7\cdot 10^{-7}$ Дж, а у нас $576,8\cdot 10^{-7}$ - то есть $150\cdot 10^{-7}$, ц-ц-ц, нэ хватает! Или, что то же самое, 15 мкДж.

Аналогично для мыльного пузыря. Чтоб создать пузырь радиусом $r$, нужно затратить энергию

$$W=\sigma S=\sigma\cdot 4\pi r^2=0,04\cdot 4\pi\cdot 0,01^2=50\cdot 10^{-6}$$

Если объем растет вдвое, то $r^3$ растет вдвое, а сам радиус – в $\sqrt[3]{2}$ раз. Поверхность же увеличивается в $\sqrt[3]{4}$ раз, и энергия нужна во столько же раз больше - $80\cdot 10^{-6}$. То есть необходимо потратить $(80-50) \cdot 10^{-6}=30\cdot 10^{-6}$ Дж. Как вы понимаете, ответ зависит от $\sigma$. Если взять $\sigma=0,073$ (для воды) – то результат будет 54 мкДж.

Ответ: а) 15 мкДж; б) 30 мкДж.