Поверхностное натяжение: простые задачи

В этой статье рассмотрим простые задачи на поверхностное натяжение: будем определять коэффициент поверхностного натяжения, силу поверхностного натяжения - при этом надо помнить, что если имеем дело с пленкой, то у нее две стороны, поэтому силу нужно удваивать в этом случае.

Задача 1. С какой силой действует мыльная пленка на проволоку АВ (рис. 10.66), если длина проволоки $l = 3$ см? На сколько изменится поверхностная энергия пленки при перемещении проволоки на $d = 2$ см? Коэффициент поверхностного натяжения $\sigma=0,04$ Н/м.

Определим силу поверхностного натяжения. При этом, глядя на картинку, видим,  что у пленки две стороны, поэтому в формуле появляется множитель «2».

$$F=2\sigma l=2\cdot0,04\cdot 0,03=2,4\cdot10^{-3}$$

Теперь определим изменение поверхностной энергии пленки:

$$\Delta E=2\sigma S=2\sigma l d=2\cdot 0,04\cdot 0,03\cdot0,02=48\cdot10^{-6}$$

Ответ: $F=2,4\cdot10^{-3}$ Н, или 2,4мН,  $\Delta E=48\cdot10^{-6}$ Дж, или 48 мкДж.

Задача 2.

  Для определения коэффициента поверхностного натяжения воды была использована пипетка с диаметром выходного отверстия $d= 2$ мм. Оказалось, что $n = 40$ капель имеют массу $m = 1,9$ г. Каким по этим данным получится коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$?

Сила тяжести, действующая на каплю  жидкости, равна $m_0g$, а противодействует ей сила поверхностного натяжения. Линия контакта капли и пипетки – окружность капли. Ее длина равна $l=\pi d $. Капля же весит (лучше сказать, масса капли) $m_0=\frac{m}{n}$.

Тогда:

$$ m_0g=F_n$$

$$\frac{m}{n}g=\sigma \pi d$$
Откуда

$$\sigma=\frac{m g }{n\pi d } =\frac{1,9\cdot10^{-3}\cdot10}{40\cdot3,14\cdot 2\cdot10^{-6}}=74\cdot10^{-3}$$

Ответ: $\sigma=74\cdot10^{-3}$ мН/м.

Задача 3.

Из капельницы накапали равные массы сначала холодной воды при температуре $t_1 = 8^{\circ}$ С, затем горячей воды при температуре $t_2 = 80^{\circ}$ С. Как и во сколько раз изменился коэффициент поверхностного натяжения воды, если в первом случае образовалось $n_1=40$, а во втором $n_2 = 48$ капель?

Аналогично предыдущей задаче, приравняем силу тяжести и силу поверхностного натяжения, и отсюда определим коэффициент поверхностного натяжения. Сначала проделаем это для холодной воды:

$$ m_0g=F_n$$

$$\frac{m}{n_1}g=\sigma_1 \pi d$$
Теперь для горячей:

$$\frac{m}{n_2}g=\sigma_2 \pi d$$
Откуда

$$\sigma_1=\frac{m g }{n_1\pi d} $$

$$\sigma_2=\frac{m g }{n_2\pi d }$$

Тогда

$$\frac{\sigma_1}{\sigma_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{48}{40}=1,2$$

Ответ: в 1,2 раза.

Задача 4.

В капиллярной трубке радиусом $R = 0,5$ мм жидкость поднялась на высоту $h = 11$ мм. Оценить плотность данной жидкости, если ее коэффициент поверхностного натяжения $\sigma= 22$ мН/м.

По формуле для капилляра

$$\rho=\frac{2\sigma  \cos{\alpha}}{h r g}=\frac{2\cdot22\cdot10^{-3}\cdot 1}{11\cdot10^{-3}\cdot0,5\cdot10^{-3}\cdot9,8}=820$$

Ответ: $\rho=820$ кг/м$^3$.

Задача 5.

В дне сосуда со ртутью имеется круглое отверстие диаметром $d=70$ мкм. При какой максимальной высоте слоя ртути $H$ она еще не будет вытекать через отверстие?

Сила давления ртути будет равна силе поверхностного натяжения, тогда жидкость не выльется:

$$pS=F_n$$

$$\rho g h S=\sigma l$$

Откуда

$$h=\frac{\sigma l }{\rho g  S }=\frac{\sigma  \pi d}{\rho g \frac{\pi d^2}{4}}=\frac{4\sigma  }{\rho g  d}=\frac{4\cdot 472\cdot10^{-3} }{13600\cdot9,8\cdot70\cdot10^{-6}}=0,2$$

Ответ: 20 см.

Задача 6.

Обычная швейная игла имеет длину $l=3,5$ см и массу $m=0,1$ г. Будет ли игла лежать на поверхности воды, если ее положить аккуратно?

Сравним силу тяжести и силу поверхностного натяжения (коэффициент поверхностного натяжения воды найдем в таблице):

$$F_t=mg=0,1\cdot10^{-3}\cdot 9,8=0,98\cdot10^{-3}$$

$$F_n=\sigma l=73\cdot10^{-3}\cdot 0,035=2,56\cdot10^{-3}$$

Так как $ F_n> F_t$, то игла будет лежать.

Ответ: да.