Поверхностное натяжение. Капиллярные явления.

Для начала вспомним все, что мы знаем о поверхностном натяжении. Это явление наблюдается на поверхностях жидкостей и связано с тем, что молекулы на поверхности слабо взаимодействуют с паром жидкости, в то время как молекулы внутри объема испытывают равные силы притяжения со стороны всех своих соседей. Таким образом, эти силы компенсируют друг друга, и их равнодействующая равна нулю. Молекула же, находящаяся на поверхности, испытывает меньшее притяжение со стороны молекул пара и большее - снизу, со стороны объема жидкости. В итоге равнодействующая не равна нулю и направлена вниз. Поверхностной энергией называется избыточная потенциальная энергия, которой обладают молекулы в поверхностном слое по сравнению с их потенциальной энергией внутри остального объема жидкости. Чтобы сократить свою потенциальную энергию (всякая система стремится к минимальной потенциальной энергии) жидкость стремится сократить количество молекул на поверхности - то есть сократить свою поверхность насколько возможно, сжаться. Коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе, действующей на единицу длины периметра смачивания и направленной перпендикулярно этому периметру:

$$\sigma=\frac{F_p}{l}$$ (Н/м).

Также коэффициент поверхностного натяжения может быть определен через работу, которую надо совершить, чтобы увеличить поверхность жидкости:

$$\sigma=\frac{A}{\Delta S}$$

(Н/м). Эта работа идет на увеличение свободной поверхности жидкости, и коэффициент поверхностного натяжения жидкости численно равен потенциальной энергии единицы поверхности пленки жидкости:

$$\sigma=\frac{\Delta W_p}{\Delta S}$$ (Н/м).

Смачиванием называется явление искривления свободной поверхности жидкости у поверхности твердого тела вследствие взаимодействия молекул. Чтобы как-то количественно определить смачивание, вводится краевой угол. Это угол, образованный касательными к поверхностям твердого тела и жидкости в месте их контакта. Жидкость при этом должна оказаться внутри угла. Если краевой угол острый - то жидкость называется смачивающей твердое тело, а если тупой - то несмачивающей. Если краевой угол равен нулю, то смачивание идеальное, угол, равный $\pi$, соответствует идеальному несмачиванию. Различие углов связано с межмолекулярным взаимодействием молекул жидкости и твердого тела: если силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами жидкости друг к другу, то жидкость будет смачивающей. Если молекулы жидкости притягиваются друг к другу сильнее, чем притягиваются молекулы жидкости к молекулам твердого тела - то жидкость будет несмачивающей.

Краевой угол

Из-за смачивания и несмачивания поверхность жидкости искривляется вблизи стенок сосуда, в котором находится жидкость. Если сам сосуд мал (его стенки близко друг к другу), то искривляется вся поверхность жидкости, принимая выпуклую (несмачивание)  или вогнутую (смачивание) форму.

Смачивающая и несмачивающая жидкости

Такие поверхности называются менисками, а узкие трубки - капиллярами. То, что поверхность искривляется, приводит к изменению давления, причем давление больше с вогнутой стороны мениска (той, где находится центр кривизны). Именно этим и объясняется подъем столбика смачивающей жидкости в капилляре и опускание столбика несмачивающей жидкости: величину этого избыточного давления можно определить по формуле Лапласа:

$$\Delta P=\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)$$

где  $R_1$ и $R_2$ - радиусы двух взаимно перпендикулярных  дуг, проведенных в данной точке поверхности.

Для сферической капли $R_1=R_2$ и  $\Delta P=\frac{2\sigma}{R}$

Для капилляров $\Delta P=\frac{2\sigma\cdot \cos{\Theta}}{R}$, где $R$ - радиус капилляра, $\frac{R}{\cos{\Theta}}$ - радиус кривизны мениска.

Для некоторых задач может пригодиться формула Юнга, которая определяет соотношение для коэффициентов поверхностного натяжения для поверхностей раздела фаз (lg - жидкость-газ, tl - твердое тело-жидкость, tg - твердое тело-газ): 

.

Попробуем решить пару задач?

1. 

Одно колено U – образной трубки имеет радиус $r_1 = 0,5$ мм, а другое — $r_2 = 1$ мм. Найти разность уровней воды в коленах. Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 0,073$ Н/м. Смачивание полное.

Сила поверхностного натяжения должна уравновешивать вес столба жидкости в капилляре. Тогда вес жидкости

$$\rho gV=\rho g\cdot {\pi}r^2h$$

а сила поверхностного натяжения равна произведению периметра линии контакта (в нашем случае - окружность) на коэффициент поверхностного натяжения: 

$$\sigma\cdot 2{\pi}r$$

Здесь отсутствует косинус краевого угла, так как смачивание полное и угол этот равен нулю, а косинус нуля - 1. Получаем:

$$\rho g\cdot {\pi}r^2h=\sigma\cdot 2{\pi}r$$

Выражаем высоту столба: 

$$h=\frac{2\sigma}{{\rho}gr}$$

Вычисленная по этой формуле высота столба в капилляре радиусом 0,5 мм - 0, 0292 м, или 29,2 мм, а в капилляре 1 мм высота столба 0,0146 м, или 14,6 мм. Разница между высотой первого и второго составляет 14,6 мм.

Ответ: 14,6. 

2.

 Трубка с внутренним диаметром $d = 1$ мм опущена в ртуть на глубину $h = 5$ мм. Найти краевой угол $\Theta$. Плотность и коэффициент поверхностного натяжения ртути равны: $\rho_{rt} = 13,6$ г/см$^3$ и $\sigma_{rt} = 0,47$ Н/м.

Воспользуемся формулой из предыдущей задачи, единственное, что в ней изменим - добавим косинус краевого угла, так как смачивание здесь не полное. Вес ртути: 

$$\rho gV={\rho}g\cdot{\pi}r^2h$$

а сила поверхностного натяжения равна произведению периметра линии контакта (окружность) на коэффициент поверхностного натяжения: 

${{\sigma}\cdot 2{\pi}r}\cdot\cos(\Theta)$.

Отсюда:

$${\rho}g\cdot {\pi}r^2h={{\sigma}\cdot 2{\pi}r}\cdot \cos(\Theta)$$

А косинус краевого угла 

$$\cos {\Theta}=\frac{{\rho}g\cdot{\pi}r^2h}{{\sigma}\cdot2{\pi}r}=\frac{{\rho}g*rh}{2\sigma}$$

$$\Theta=\arccos \left(\frac{{\rho}g*rh}{2\sigma}\right)$$

Не забудем, что в формуле радиус, а нам дан диаметр.

$$\Theta=\arccos(\frac{13,6*10^3*10*5*10^{-3}*0,5*10^{-3}}{2*0,47})=\arccos(0,36)=68,8^{\circ}$$

Ответ: $\Theta=68,8^{\circ}$.

3.  Восемь шаровых капель ртути диаметром $d = 1$ мм каждая сливаются в одну каплю. Сколько при этом выделится тепла?

Найдем объем одной маленькой капли:

$$V_1={4/3}{\pi}r^3={4/3}{\pi}*(0,5)^3*10^{-9}={1/6}{\pi}*10^{-9}$$

куб. метров. Найдем площадь поверхности маленькой капли:  

$$S_1=4{\pi}r^2={\pi}*10^{-6}$$

кв. метров У восьми капель площадь поверхности 

$$8S_1=8{\pi}*10^{-6}$$

кв. метров. Теперь определим объем большой капли, он в восемь раз больше: 

$$V_2={4/3}{\pi}*10^{-9}$$

куб. метров Радиус большой капли: 

 $${4/3}{\pi}R^3={4/3}{\pi}*10^{-9}$$

Тогда радиус большой капли:

 $$R=10^{-3}$$

А ее поверхность:  

$$S_2=4{\pi}R^2=4{\pi}*10^{-6}$$

кв. метров. Таким образом, площадь изменилась на 

$${\Delta}S=4{\pi}*10^{-6}$$

кв. метров. Чтобы изменить площадь поверхности жидкости (увеличить), надо произвести работу. Когда же площадь уменьшается, то выделяется энергия:

$${{\Delta}W_p}=\sigma*{{\Delta}S}=0,47*4{\pi}*10^{-6}=5,89*10^{-6}$$

Дж.

Ответ: $${{\Delta}W_p}=5,89*10^{-6}$$ Дж.

4. Найти радиус нижнего мениска в трубке с внутренним диаметром $d = 0,59$ мм, если высота $h$ столбика воды в нём равна: а) 2,5 см; б) 5 см; в) 10 см. Смачивание полное.

Рассмотрим рисунок. Верхний мениск всегда будет вогнутым, давление, как мы знаем, в этом случае направлено вверх. Так как смачивание полное, то косинус краевого угла равен 1, а сам угол - нулю:

$$p_1={2\sigma}/R_1={{2\sigma}\cos{\Theta}}/r={2\sigma}/r={0,073*2}/{0,295*10^{-3}}=494,9$$

Давление столба жидкости направлено вниз и равно: ${\rho}gh$.

В первом случае: 

$$p_{21}={\rho}gh_1=10^3*10*2,5*10^{-2}=250$$

Во втором случае: 

$$p_{22}={\rho}gh_2=10^3*10*5*10^{-2}=500$$

В третьем случае: 

$$p_{23}={\rho}gh_3=10^3*10*10*10^{-2}=1000$$

Таким образом, в первом случае, когда $p_1>p_{21}$, суммарное давление направлено вниз, и давление нижнего мениска, компенсируя его, должно быть направлено вверх, то есть он будет вогнутым. Во втором случае оба давления приблизительно равны: $p_1=p_{22}$, так что нижний мениск будет плоским. В третьем случае $p_1<p_{21}$, и суммарное давление направлено вниз, тогда мениск, компенсируя эту разницу, будет выпуклым. Найдем разницу давлений в первом и третьем случаях (во втором она близка к нулю):

$$p_{31}=p_1-p_{21}=250-495=-244$$

$$p_{33}=p_1-p_{21}=1000-495=505$$

Определим теперь радиусы менисков:  

$$p_3={2\sigma}/R_2$$

 $$R_2={2\sigma}/p_3$$

В первом случае радиус 

$$R_2={2*0,073}/(-244)=-5,9*10^{-4}$$

или 0,59 мм, вогнутый. В третьем случае радиус

$$R_2={2*0,073}/505=2,9*10^{-4}$$

или 0,29 мм, выпуклый.