Погрешности

В задании 22 ЕГЭ по физике (2017) нужно уметь определять погрешности вычислений различных величин. Теория вычисления различных погрешностей  - сложная самостоятельная наука, которую преподают обычно в вузах. Для школы и для успешной сдачи экзамена нам потребуются базовые знания, которые я и собрала в этой статье.

В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, производить различные вычисления. Результатами измерений, подсчетов и вычислений являются числа. Однако точные измерения невозможны ввиду несовершенства наших органов зрения, неточности измерительных приборов и некоторых свойств самих измеряемых объектов.

При различных измерениях одной и той же величины получают различные приближенные значения. Каждое из этих приближений отличается от истинного значения на некоторую величину, называемую погрешностью.

Абсолютной погрешностью называется модуль разности истинного и приближенного значения некоторой величины, обозначается она буквой $\Delta$ и измеряется в тех же единицах, что и вычисляемая величина:

$$\Delta x =\mid x_0-x \mid$$

Где $x_0$ - истинное значение, $x$ - приближенное.

Из этого определения следует, что истинное значение величины равно приближенному значению плюс-минус абсолютная погрешность $\Delta$:

$$x_0=x \pm \Delta x$$

Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений, т.к., например, точность 1 см для определения ширины стадиона является высокой, а для определения длины листа бумаги - низкой. Поэтому для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности.

Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности приближения к модулю числа приближенного значения. Обозначается относительная погрешность буквой $\varepsilon$  (эпсилон) и выражается в процентах:

$$\varepsilon=\frac{\Delta x }{x}\cdot 100 \%$$

Далее я приведу таблицу правил определения погрешностей сумм, разностей, произведений и т.п.

Погрешности

Ну и теперь порешаем задачи, чтобы окончательно разобраться.

Задача 1.

Чтобы оце­нить, каков будет пе­ри­од малых ко­ле­ба­ний ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка, ис­поль­зу­ем для вы­чис­ле­ний на каль­ку­ля­то­ре фор­му­лу $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.  По оцен­ке «на гла­зок» длина нити равна $1,5 \pm 0,1$ м. Каль­ку­ля­тор по­ка­зы­ва­ет на экра­не число 2,4322335. Чему равен, с учётом по­греш­но­сти оцен­ки длины нити, пе­ри­од ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка? (Ответ дайте в се­кун­дах, зна­че­ние и по­греш­но­сть за­пи­ши­те через точку с за­пя­той без про­бе­лов.)

Относительная погрешность определения периода равна

$$\varepsilon=\frac{\Delta T}{T}$$

С другой стороны, по таблице находим, что

$$\varepsilon=\frac{\Delta l}{n l}$$

Тогда

$$\frac{\Delta T}{T}=\frac{\Delta l}{n l}$$

Тогда

$$\Delta T=T \frac{\Delta l}{n l}=2,4322335 \frac{0,1}{2\cdot 1,5}=0,08107$$

Так как по правилам вычисления погрешностей мы должны оставить одну значащую цифру, то получим $\Delta T=0,08$ c, так как погрешность определена с точностью до сотых, то период тоже округляем до сотых: $T=2,43$. Имеем:

$$T=2,43 \pm 0,08$$

Ответ: 2,43;0,08

Задача 2.

При опре­де­ле­нии массы масла плот­но­стью 0,9 г/см$^3$ уче­ник из­ме­рил объём масла с ис­поль­зо­ва­ни­ем мер­но­го ци­лин­дра: $V = (18,0 \pm 0,5)$ см$^3$. За­пи­ши­те в ответ массу масла в грам­мах с учётом по­греш­но­сти из­ме­ре­ний через точку с за­пя­той без про­бе­лов.

Определяем массу масла:

$$m=\rho V=0,9\cdot 18=16,2$$

Определим погрешность вычисления:

$$\Delta m=\rho \Delta V=0,9\cdot 0,5=0,45$$

Оставляя одну значащую цифру, имеем: $\Delta m=0,5$ г - тогда с такой же точностью и саму величину запишем: $m=16,2 \pm 0,5$

Ответ: 16,2;0,5