Олимпиадная подготовка по МКТ – 7

Продолжаю публиковать решения олимпиадных задач, которые я подготавливала к занятию с группой ребят.

Задача 1.

Один моль гелия расширяется так, что его давление линейно зависит от объёма. Температуры в исходном и конечном состояниях одинаковы. Вычислите работу, совершаемую газом, если известно, что в ходе рассматриваемого процесса разность между максимальной и минимальной температурой равна $\Delta T$, а объём гелия увеличивается в $k$ раз, причём $k > 1$.

Решение. Так как зависимость давления от объема линейная, то давление уменьшается также в $k$ раз. Работа будет равна площади под прямой:

$$A=\frac{p_0+\frac{p_0}{k}}{2}(kV_0-V_0)=\frac{p_0V_0}{2k}(k^2-1)$$

Уравнение прямой можно записать так:

$$\frac{p_0-p}{V-V_0}=\frac{p_0-\frac{p_0}{k}}{kV_0-V_0}=\frac{p_0}{kV_0}$$

$$(p_0-p)kV_0=p_0(V-V_0)$$

$$p_0kV_0-pkV_0=p_0V-p_0V_0$$

$$p=\frac{ pkV_0+ p_0V_0-p_0V}{kV_0}$$

$$p=p_0\frac{k+1}{k}-\frac{p_0V}{kV_0}~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$p+\frac{p_0V}{kV_0}= p_0\frac{k+1}{k}$$

Дифференцируем по объему:

$$\frac{dp}{dV}=-\frac{p_0}{kV_0}~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона и тоже продифференцируем по объему:

$$pV=\nu RT$$

$$\frac{dp}{dV}\cdot V+p=\nu R\frac{dT}{dV}$$

Подставим сюда полученное ранее (1) и (2):

$$-\frac{p_0}{kV_0}\cdot V+ p_0\frac{k+1}{k}-\frac{p_0V}{kV_0}=\nu R\frac{dT}{dV}$$

$$-\frac{2p_0}{kV_0}\cdot V+ p_0\frac{k+1}{k}=\nu R\frac{dT}{dV}$$

Производная равна нулю при максимальном значении объема, приравняем к нулю и найдем максимальный объем:

$$-\frac{2p_0}{kV_0}\cdot V+ p_0\frac{k+1}{k}=0$$

$$V_m=\frac{k+1}{2}V_0$$

Подставим это в выражение для давления:

$$p_m=p_0\frac{k+1}{k}-\frac{p_0}{kV_0}\cdot \frac{k+1}{2}V_0=p_0\frac{k+1}{2k}$$

Для начального состояния

$$p_0V_0=\nu RT_0$$

Для состояния, когда объем максимален:

$$p_mV_m=\frac{p_0V_0}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^2$$

$$p_mV_m=\nu R(T_0+\Delta T)$$

Приравнивая правые части, получаем:

$$\nu R(T_0+\Delta T)= \frac{p_0V_0}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^2$$

$$\nu R\Delta T=p_0V_0\left(\frac{1}{k}\cdot\left(\frac{k+1}{2}\right)^2-1\right)=\frac{p_0V_0}{4k}(k-1)^2$$

Возвращаемся к работе:

$$A=\frac{p_0V_0}{2k}(k^2-1)=\frac{k^2-1}{2k}\cdot \frac{\nu R\Delta T\cdot 4k}{(k-1)^2}$$

$$A=\frac{2\nu R\Delta T\cdot (k^2-1)}{(k-1)^2}=\frac{2\nu R\Delta T\cdot (k+1)}{k-1}$$

Ответ: $A=\frac{2\nu R\Delta T\cdot (k+1)}{k-1}$

Задача 2.

Теплоизолированный цилиндр разделен подвижным теплопроводным поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой — аргон. В начальный момент температура гелия равна 300 К, а аргона — 900 К. При этом объемы, занимаемые газами, одинаковы. Чему равно отношение внутренней энергии гелия после установления теплового равновесия к его энергии в начальный момент, если поршень перемещается без трения? Теплоемкостью сосуда и поршня пренебречь.

Решение. Суммарная работа газа равна нулю. Поэтому внутренняя энергия системы до перемещения поршня равна внутренней энергии системы после.

$$\frac{3}{2}\nu_1RT_1+\frac{3}{2}\nu_2RT_2=\frac{3}{2}(\nu_1+\nu_2)RT$$

$$\nu_1RT_1+\nu_2RT_2=(\nu_1+\nu_2)RT$$

$$T=\frac{\nu_1T_1+\nu_2T_2}{\nu_1+\nu_2}$$

Вначале объемы газов одинаковы и одинаковы давления. Так как температуры разные, то, видимо, аргона меньше по количеству втрое:

$$\nu_2=\frac{\nu_1}{3}$$

$$T=\frac{3\nu_2T_1+\nu_2T_2}{3\nu_2+\nu_2}=\frac{1800\nu_2}{4\nu_2}=450$$

Отношение энергий равно

$$\frac{E_2}{E_1}=\frac{T}{T_1}=\frac{450}{300}=1,5$$

Ответ: 1,5.

Задача 3.

Теплоизолированный сосуд разделен тонкой теплоизолирующей перегородкой на две части, отношение объемов которых $\frac{V_2}{V_1} = 2$. Обе части сосуда заполнены одинаковым одноатомным идеальным газом. Давление в первой из них равно $p_0$, во второй - $4p_0$. Каким станет давление в сосуде, если перегородку убрать?

Решение.

Состояния газа в обеих частях можно записать уравнениями:

$$p_0V_1=\nu_1 RT_1$$

$$4p_0\cdot 2V_1=\nu_2 RT_2$$

Тогда, так как газы теплом с внешней средой не обмениваются, и работы не совершают, то их внутренняя энергия (сумма) сохраняется:

$$\frac{ 3}{ 2 }\nu_1RT_1+\frac{ 3}{ 2 }\nu_2RT_2=\frac{ 3}{ 2 }(\nu_1+\nu_2)RT$$

Откуда

$$T=\frac{\nu_1RT_1+\nu_2RT_2}{ (\nu_1+\nu_2)R }~~~~~~~~~~~(3)$$

Уравнение Менделеева-Клапейрона для общего количества газа в сосуде:

$$p_x \cdot 3V_1=(\nu_1+\nu_2)RT$$

$$\nu_1+\nu_2=\frac{p_x \cdot 3V_1}{RT}$$

И подставим в (3)

$$T=\frac{(\nu_1RT_1+\nu_2RT_2)T}{ p_x \cdot 3V_1 }$$

$$1=\frac{p_0V_1+4p_0\cdot 2V_1}{ p_x \cdot 3V_1 }$$

Откуда делаем вывод, что $p_x=3p_0$.

Ответ: $p_x=3p_0$.