Олимпиадная подготовка по МКТ – 6

Продолжаю публиковать решения олимпиадных задач, которые я подготавливала к занятию с группой ребят. Задача. Система состоит из большого числа одинаковых камер с одноатомным идеальным газом. Камеры разделены теплоизолирующими перегородками (см. рисунок). Температура газа в верхних камерах равна $T_0$, в нижних — $T_1$ ($T_1 > T_0$). Давление газа во всех камерах одинаковое. Горизонтальная перегородка П начинает медленно смещаться вправо, в результате чего камеры постепенно объединяются. На левом конце перегородки расположен датчик Д, который с заданной частотой фиксирует температуру. Показания датчика с некоторого момента $t_0$ после начала движения перегородки представлены на графике. Определите начальные температуры $T_0$ и $T_1$. Сколько камер было объединено к моменту времени $t_0$? Теплообменом с окружающей средой пренебречь. Решение. Давление газа во всех камерах одинаковое, и объем одинаковый. $$pV=\nu_0 RT_0$$ $$pV=\nu_1 RT_1$$ Откуда $$\nu_0 T_0=\nu_1 T_1$$ $$\nu_1=\frac{\nu_0 T_0}{ T_1}~~~~~~~~~~~~~~~~(5)$$ Когда мы сдвигаем перегородку, и открываем верхнюю камеру тем самым, то температура понижается – что и видно по графику. Причем мы открываем так медленно, что температура успевает установиться на уровне 450 K. Затем открывается нижняя, теплая, камера, и температура вырастает до 468 К. И после этого падает до 455 К, когда снова открывается холодная камера. Последняя фраза позволяет использовать закон сохранения энергии. Обозначим число камер, которое мы ищем, за $n$. Пусть открыто $n$ нижних и $n$ верхних камер. $$\frac{3}{2}n\nu_0 RT_0+\frac{3}{2}n\nu_1 RT_1=\frac{3}{2}R n(\nu_0+\nu_1)T_{468}$$ Откуда $$\nu_0 T_0+\nu_1 T_1=(\nu_0+\nu_1)T_{468}$$ Подставим (5) $$\nu_0 T_0+\nu_0 T_0=(\nu_0+\nu_1)T_{468}$$ $$T_{468}=\frac{2\nu_0 T_0}{\nu_0+\nu_1}=\frac{2\nu_0 T_0}{\nu_0+\nu_0\frac{T_0}{T_1}}=\frac{2T_0T_1}{T_1+T_0}$$ Пусть открыто $n$ нижних и $n+1$ верхних камер. $$\frac{3}{2}n\nu_0 RT_0+\frac{3}{2}n\nu_1 RT_1+\frac{3}{2}\nu_0 RT_0=\frac{3}{2}R((n+1)\nu_0+n\nu_1)T_{450}$$ Первое слагаемое – внутренняя энергия газа в $n$ верхних открытых камерах, второе – в $n$ нижних. К этому добавляется энергия одной открытой дополнительно верхней камеры (третье слагаемое). $$n\nu_0 T_0+n\nu_1 T_1+\nu_0 T_0=((n+1)\nu_0+n\nu_1)T_{450}$$ $$(n+1) \nu_0 T_0+ n\nu_1 T_1=(n+1)\nu_0 T_{450}+ n\nu_1T_{450}$$ Используем (5) $$(n+1) T_0+ nT_0=(n+1)T_{450}+ n\frac{T_0}{T_1}T_{450}~~~~~~~~~(6)$$ $$(2n+1) T_0=\left(n+1+n\frac{T_0}{T_1}\right)T_{450}$$ $$ T_{450}=\frac{(2n+1) T_0}{ n+1+n\frac{T_0}{T_1}}=\frac{(2n+1) T_0T_1}{ (n+1)T_1+nT_0}$$ Открываем теперь теплую камеру, и температура растет до 468 К. $$\frac{3}{2}n\nu_0 RT_0+\frac{3}{2}n\nu_1 RT_1+\frac{3}{2}\nu_0 RT_0+\frac{3}{2}\nu_1 RT_1=\frac{3}{2}R((n+1)\nu_0+(n+1)\nu_1)T_{468}$$ $$T_{468}=\frac{2T_0T_1}{T_1+T_0}$$ Открываем холодную, и температура падает до 455 К: $$\frac{3}{2}n\nu_0 RT_0+\frac{3}{2}n\nu_1 RT_1+\frac{3}{2}\nu_0 RT_0+\frac{3}{2}\nu_1 RT_1+\frac{3}{2}\nu_0 RT_0=\frac{3}{2}R((n+2)\nu_0+(n+1)\nu_1)T_{455}$$ $$n\nu_0 T_0+n\nu_1 T_1+\nu_0 T_0+\nu_1 T_1+\nu_0 T_0=((n+2)\nu_0+(n+1)\nu_1)T_{455}$$ $$n\nu_0 T_0+n\nu_0 T_0+\nu_0 T_0+\nu_0 T_0+\nu_0 T_0=((n+2)\nu_0+(n+1)\nu_1)T_{455}$$ $$2n\nu_0 T_0+3\nu_0 T_0=((n+2)\nu_0+(n+1)\nu_1)T_{455}$$ $$2n\nu_0 T_0+3\nu_0 T_0=((n+2)\nu_0+(n+1)\nu_0\frac{T_0}{T_1})T_{455}$$   $$ T_{455}=\frac{(2n+3)T_0}{n+2+(n+1) \frac{T_0}{T_1}}=\frac{(2n+3)T_0T_1}{(n+2)T_1+(n+1)T_0}$$

Итак, получено три уравнения, при трех неизвестных.

$$\Bigg\{ \begin{matrix}{ T_{468}=\frac{2T_0T_1}{T_1+T_0}}\\{ T_{450}=\frac{(2n+1) T_0T_1}{ (n+1)T_1+nT_0}}\\{ T_{455}=\frac{(2n+3)T_0T_1}{(n+2)T_1+(n+1)T_0}}\end{matrix}$$

Перепишем:

$$\Bigg\{ \begin{matrix}{ T_{468}=\frac{2T_0}{1+\frac{T_0}{T_1}}}\\{ T_{450}=\frac{(2n+1) T_0}{ (n+1)+n\frac{T_0}{T_1}}}\\{ T_{455}=\frac{(2n+3)T_0}{(n+2)+(n+1)\frac{T_0}{T_1}}}\end{matrix}$$

Обозначим для простоты $R=1+\frac{T_0}{T_1}$. Тогда $$ T_{468}=\frac{2T_0}{R}$$ $$ T_{450}=\frac{(2n+1) T_0}{nR+1}$$ $$R=\frac{2T_0}{ T_{468}}$$ $$ nR+1=\frac{(2n+1) T_0}{ T_{450}}$$ $$ T_{455}=\frac{(2n+3)T_0}{R(n+1)+1}$$ Подставим сюда $R$ и $ nR+1$: $$T_{455}=\frac{(2n+3)T_0}{\frac{(2n+1)T_0}{T_{450}+\frac{2T_0}{T_{468}}}}=\frac{2n+3}{\frac{2n+1}{T_{450}+\frac{2}{T_{468}}}}$$ $$T_{455}=\frac{ T_{450} T_{468}(2n+3)}{(2n+1) T_{468}+2 T_{450}}$$ $$ T_{450}T_{468}\cdot 2n+3 T_{450} T_{468}=2 T_{450} T_{455}+2n T_{455} T_{468}+ T_{455} T_{468}$$ $$2n(T_{455} T_{468}- T_{450}T_{468})=3 T_{450} T_{468}- T_{455} T_{468}-2 T_{450} T_{455}$$ $$2n=\frac{9360}{2340}$$ $$n=2$$ Получается,

$$T_{468}=\frac{2T_0T_1}{T_1+T_0}$$

$$ T_{450}=\frac{5T_0T_1}{3T_1+2T_0}$$ Разделим уравнения: $$\frac{ T_{468}}{ T_{450}}=\frac{2}{T_1+T_0}\cdot\frac{3T_1+2T_0}{5}$$ $$ T_{450}(6T_1+4T_0)= T_{468}(5T_1+5T_0)$$ $$T_1(6T_{450}-5 T_{468})=T_0(5 T_{468}-4 T_{450})$$ $$T_1\cdot 360=T_0\cdot 540$$ $$T_1=1,5T_0$$ $$T_{468}=\frac{2T_0\cdot 1,5T_0}{2,5T_0}=1,2T_0$$ $$T_0=390$$ $$T_1=585$$ Ответ: $n=2$, $ T_0=390$, $T_1=585$.