Олимпиадная подготовка по МКТ - 5

Продолжаю публиковать решения олимпиадных задач, которые я подготавливала к занятию с группой ребят.

Задача 1.

В вертикально расположенном теплоизолированном цилиндре, легкий поршень которого удерживается в неподвижном состоянии двумя одинаковыми гирями, находится идеальный одноатомный газ (рис. 11.1). Начальная температура газа $T_1$. Давление вне цилиндра равно нулю. На сколько изменится температура газа, если одну из гирь снять, а затем, подождав установления равновесия, поставить обратно? Поршень скользит в цилиндре без трения.

К задаче 1

Решение. Запишем закон сохранения энергии при переходе от состояния 1 к состоянию 2.

$$\frac{3}{2}\nu RT_1=\frac{3}{2}\nu RT_2+mgh$$

Для первого состояния уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$\frac{2mg}{S}\cdot V_0=\nu RT_1~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Для второго состояния

$$\frac{mg}{S}\cdot (V_0+Sh)=\nu RT_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Подставляем (1) и (2) в самое первое уравнение.

$$\frac{3}{2}\cdot 2mgl=\frac{3}{2}(mgl+mgh)+mgh$$

$$3l=\frac{3}{2}l+\frac{5}{2}h$$

$$3l=5h$$

$$h=\frac{3}{5}l$$

Разделим (2) на (1):

$$\frac{T_2}{T_1}=\frac{l+h}{2l}=\frac{\frac{8}{5}l}{2l}=\frac{4}{5}$$

$$T_2=0,8T_1$$

Теперь рассмотрим переход от состояния 2 к состоянию 3. Проделываем все то же: закон сохранения энергии и два уравнения Менделеева-Клапейрона.

$$2mgy+\frac{3}{2}\nu RT_2=\frac{3}{2}\nu RT_3$$

$$\frac{mg}{S}(V_k+yS)= \nu RT_2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

$$\frac{2mg}{S}V_k=\nu RT_3~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$

Умножим (3) на 2:

$$\frac{2mg}{S}(V_k+yS)= 2\nu RT_2$$

И вычтем теперь (4):

$$\frac{2mg}{S}\cdot yS= \nu R(2T_2-T_3)$$

Подставляем в закон сохранения:

$$\nu R(2T_2-T_3)+ \frac{3}{2}\nu RT_2=\frac{3}{2}\nu RT_3$$

$$\frac{7T_1}{2}=\frac{5}{2}T_3$$

$$T_3=\frac{7}{5}T_2=\frac{28}{25}T_1$$

$$V_k=\frac{28}{25}V_0$$

Ответ: температура изменится на $\frac{3}{25}T_1$.

Задача 2.

Теплоизолированный сосуд был наполнен гелием при комнатной температуре и закрыт легким подвижным поршнем сечения $S$ (см. рисунок). Поршень взяли из холодного склада, и его нижняя поверхность была покрыта слоем намерзшего льда с температурой $0^{\circ}$С. Лед частично растаял, и температура в сосуде опустилась до $0^{\circ}$С — при этом поршень остался на своем месте. Определите объем сосуда. Ускорение свободного падения $g$, трение отсутствует. Теплоемкостью поршня пренебречь. Удельная теплота плавления льда $\lambda$. Изменение объема при плавлении льда является пренебрежимо малым эффектом.

К задаче 2

Решение. Газ изменил свою внутреннюю энергию, за счет этого растаял лед.

$$Q=\lambda \Delta m=\frac{3}{2}V\Delta p$$

Условия равновесия поршня в обоих случаях:

$$p_0S+m_1g=p_1S$$

$$p_0S+m_2g=p_2S$$

Вычитаем:

$$\Delta p S=\Delta m g$$

$$Q=\lambda \Delta m=\frac{3}{2}V\frac{\Delta m g}{S}$$

Откуда

$$V=\frac{2\lambda S}{3g}$$

Ответ: $V=\frac{2\lambda S}{3g}$.