Олимпиадная подготовка по МКТ - 4

Продолжаю публиковать решения олимпиадных задач, которые я подготавливала к занятию с группой ребят.

Задача 1.

На рисунке изображен груз, привязанный к летательному аппарату. Аппарат представляет собой контейнер К, разделенный на два отсека подвижным поршнем П. В верхнем отсеке контейнера находится гелий, нижний отсек сообщается с атмосферным воздухом. В нижнем отсеке имеется нагревательный элемент Э, который может нагреть воздух в отсеке до температуры $T$ и поддерживать эту температуру постоянной. Поршень скользит без трения и слабо проводит тепло. Вес аппарата без содержащихся внутри газов $F_0$. Первоначально нагревательный элемент был выключен, вся конструкция имела температуру атмосферы $T_0$. Максимальный груз, который мог при этом поднять аппарат, имел вес $F_1$. Когда нагревательный элемент включили, воздух в нижнем отсеке быстро нагрелся до температуры $T$. Гелий же, из-за слабой теплопроводности поршня, имел первоначальную температуру $T_0$. При этом максимальный вес груза, поднимаемого аппаратом, оказался равен $F_2$. Чему станет равен максимальный вес груза, когда гелий также нагреется до температуры $T$? Считать, что температура атмосферного воздуха вокруг аппарата постоянна и равна $T_0$. Молярная масса воздуха $\mu_v$, молярная масса гелия $\mu_{He}$.

Решение. Для первоначального состояния

$$F_0+F_1+m_{He}g+m_1g=F_A~~~~~~~~(1)$$

Здесь $m_1$ - масса воздуха.

Когда воздух нагрелся, часть его вышла, и масса стала равна $m_2$:

$$F_0+F_2+ m_{He}g+m_2g=F_A~~~~~~~~(2)$$

Когда гелий нагрелся, он расширился и вытеснил еще часть воздуха, теперь масса воздуха $m_3$:

$$F_0+F_3+ m_{He}g+m_3g=F_A~~~~~~~~~(3)$$

Суммарный объем, занимаемый газами, постоянен.

$$V_{He}+V_v=const$$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

$$m_{He}=\frac{p_0V_0\mu_{He}}{RT_0}~~~~~~~~(4)$$

$$m_1=\frac{p_0V_v\mu_v}{RT_0}~~~~~~~~(5)$$

$$m_2=\frac{p_0V_v\mu_v}{RT}~~~~~~~~(6)$$

Для гелия, расширяющегося при нагреве, процесс изобарный:
$$\frac{V}{T}=\frac{V_0}{T_0}$$

$$V=\frac{V_0}{T_0}T $$

$$m_3=\frac{p_0M_v}{RT}\left(V_v-(\frac{V_0}{T_0}T-V_0)\right)~~~~~~~~(7)$$

Сила Архимеда равна

$$F_A=\rho_v(V_0+V_v)g$$

Уравнение Менделеева-Клапейрона для воздуха:

$$p_0=\frac{\rho_V}{\mu_v}RT_0$$

$$F_A=\frac{ p_0M_v}{RT_0}(V_0+V_v)g~~~~~~~~~(8)$$

Получили систему из 8(!) уравнений. Попробуем ее решить.

Из (1) и (2):

$$F_1+m_1g=F_2+m_2g$$

Подставим $m_1$ и $m_2$:

$$F_1+\frac{p_0V_v\mu_v g}{RT_0}=F_2+\frac{p_0V_v\mu_v g}{RT}$$

$$F_1-F_2=\frac{p_0V_v\mu_v g}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_0}\right)~~~~~(9)$$

Откуда

$$ V_v=\frac{RT T_0(F_1-F_2)}{p_0\mu_v g(T_0-T)}~~~~~~~~~~(10)$$

Из (2) и (3):

$$g(m_2-m_3)=F_3-F_2$$

$$\frac{gp_0\mu_v}{RT}(V_v-V_v+\frac{V_0T}{T_0}-V_0)= F_3-F_2$$

$$\frac{gp_0V_0\mu_v}{RT}( \frac{T}{T_0}-1)= F_3-F_2$$

$$\frac{ gp_0V_0\mu_v }{RT} \frac{T-T_0}{T_0}= F_3-F_2~~~~~~~(11)$$

Из (9)

$$\frac{T_0-T}{TT_0}=\frac{(F_1-F_2)R}{ gp_0V_v\mu_v }$$

Подставляем в (11):

$$\frac{ gp_0V_0\mu_v }{RT} \frac{(F_2-F_1)RT}{ gp_0V_v\mu_v }= F_3-F_2$$

Откуда

$$\frac{V_0}{V_v}=\frac{ F_3-F_2}{ F_2-F_1}~~~~~~~~~~~~~(12)$$

Выразим $V_0$:

$$V_0=\frac{ F_3-F_2}{ F_2-F_1}V_v$$

Подставим сюда (10):

$$V_0=\frac{RT T_0(F_3-F_2)}{p_0\mu_v g(T-T_0)}$$

$$V_0+V_v=\frac{RT T_0(F_1+F_3-2F_2)}{p_0\mu_v g(T-T_0)}~~~~~~~(13)$$

Разовьем уравнение (7):

$$m_3g=\frac{ gp_0\mu_v }{RT}(V_v +V_0-\frac{V_0}{T_0}T)$$

$$m_3g=\frac{ gp_0\mu_v }{RT}(V_v +V_0)-\frac{p_0\mu_v V_0g}{RT_0}$$

Подставляем (13):

$$m_3g=\frac{T_0}{T-T_0}(F_1+F_3-2F_2)- \frac{p_0\mu_v V_0g}{RT_0}$$

Теперь попробуем найти $F_3$:

$$F_3=F_2+m_2g-m_3g=F_2+\frac{p_0V_v\mu_v}{RT}-\frac{T_0}{T-T_0}(F_1+F_3-2F_2)+ \frac{p_0\mu_v V_0g}{RT_0}$$

$$F_3\left(1+\frac{T_0}{T-T_0}\right)= F_2+\frac{p_0V_v\mu_v g}{RT}+\frac{p_0\mu_v V_0g}{RT_0}-\frac{T_0}{T-T_0}(F_1-2F_2)$$

$$F_3\left(1+\frac{T_0}{T-T_0}\right)= F_2+\frac{p_0\mu_vg}{R}(\frac{V_v}{T}-\frac{V_0}{T_0}-\frac{T_0}{T-T_0} (F_1-2F_2)$$

Подставим $V_v$ и $V_0$:

$$F_3\frac{T}{T-T_0}=F_2+\frac{F_2T_0-F_1T_0-F_3T+F_2T}{T-T_0}-\frac{T_0}{T-T_0} (F_1-2F_2)$$

Домножим на $T-T_0$:

$$F_3T=F_2(T-T_0)+F_2T_0-F_1T_0-F_3T+F_2T-F_1T_0+2F_2T_0$$

$$2F_3T=2F_2T-2F_1T_0+2T_0F_2$$

$$F_3=F_2-F_1\frac{T_0}{T}+F_2\frac{T_0}{T}$$

$$F_3=F_2+\frac{T_0}{T}(F_2-F_1)$$

Ответ: $F_3=F_2+\frac{T_0}{T}(F_2-F_1)$.