Олимпиадная подготовка по МКТ - 3

Продолжаю публиковать решения олимпиадных задач, которые я подготавливала к занятию с группой ребят.

Задача 1.

На поверхность планеты, атмосфера которой имеет среднюю молярную массу $\mu = 43$ г/моль и состоит только из аргона и углекислого газа, опустился космический аппарат с вакуумированной полостью. От удара о поверхность планеты в стенке полости образовалась микротрещина, размеры которой меньше длины свободного пробега молекулы. Через неё в полость начал поступать газ из атмосферы планеты. Определите отношение $\alpha$ концентраций аргона и углекислого газа в полости космического аппарата через малый промежуток времени после образования микротрещины. Для простоты вычислений считайте, что все молекулы газа имеют одинаковую кинетическую энергию.

Решение. Пусть площадь щели $S$. Тогда отношение концентраций равно отношению числа молекул, а это отношение в свою очередь равно

$$\alpha=\frac{n_1}{n_2}=\frac{N_1}{N_2}=\frac{ n_{Ar}\cdot \upsilon_{Ar}\cdot S\Delta t}{ n_{He}\cdot \upsilon_{He}\cdot S\Delta t }=\frac{ n_{Ar}\cdot \upsilon_{Ar}}{ n_{He}\cdot \upsilon_{He}}~~~~~~~~~~~~~~~~(*)$$

По условию, равны кинетические энергии молекул:

$$m_{Ar}\upsilon_{Ar}^2= m_{He}\upsilon_{He}^2$$

Откуда

$$\frac{\upsilon_{Ar}}{\upsilon_{He}}=\sqrt{\frac{ m_{He}}{ m_{Ar}}}=\sqrt{\frac{ M_{He}}{ M_{Ar}}}$$

Для газов внутри

$$p_{Ar}V=\frac{ m_{Ar}}{ M_{Ar}}RT~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$ p_{He}V=\frac{ m_{He}}{ M_{He}}RT~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

По закону Дальтона полное давление складывается из давлений обоих газов:

$$( p_{Ar}+ p_{He})V=\frac{ m_{Ar}+ m_{He}}{M}RT$$

Здесь $M$ - молярная масса смеси.

Сложим (1) и (2):

$$( p_{Ar}+ p_{He})V=\left(\frac{ m_{Ar}}{ M_{Ar}}+\frac{ m_{He}}{ M_{He}}\right)RT$$

Приравниваем правые части:

$$\frac{ m_{Ar}}{ M_{Ar}}+\frac{ m_{He}}{ M_{He}}=\frac{ m_{Ar}+ m_{He}}{M}$$

Теперь воспользуемся следующей известной формулой:

$$m=m_0N=\frac{M}{N_A}nV$$

$$n_{Ar}+n_{He}=\frac{ M_{Ar} n_{Ar}+ M_{He} n_{He}}{M}$$

Преобразуем:

$$\frac{ n_{Ar}}{ n_{He}}+1=\frac{ M_{Ar} }{ M}\cdot \frac{ n_{Ar}}{ n_{He}}+\frac{ M_{He}}{M}$$

$$\frac{ n_{Ar}}{ n_{He}}=\frac{\frac{ M_{He}}{M}-1}{1-\frac{ M_{Ar} }{ M}}=\frac{ M_{He}-M}{M- M_{Ar}}$$

Возвращаемся к (*)

$$\alpha=\frac{ n_{Ar}\cdot \upsilon_{Ar}}{ n_{He}\cdot \upsilon_{He}}=\frac{ M_{He}-M}{M- M_{Ar}}\cdot \sqrt{\frac{ M_{He}}{ M_{Ar}}}$$

Ответ: $\alpha=\frac{ M_{He}-M}{M- M_{Ar}}\cdot \sqrt{\frac{ M_{He}}{ M_{Ar}}}$.

Задача 2.

По некоторым оценкам масса озона ($O_3$) в атмосфере Венеры составляет $\alpha= 10^{-5}$ % от массы всей атмосферы. Какой толщины слой образовал бы озон, если бы он собрался вблизи поверхности планеты и имел бы при этом температуру и давление, равные температуре и давлению атмосферы у поверхности Венеры? Ускорение свободного падения у поверхности Венеры $g = 8,2$ м/с$^2$, температура атмосферы $T = 800$ К.

Решение: по условию

$$m_{oz}=\alpha m_{atm}$$

Давление

$$p_{atm}=\frac{ m_{atm}g}{S}=\frac{ m_{atm}g }{4\pi R^2}$$

Вычислим объем слоя:

$$V=\frac{4}{3}\pi (R+h)^3-\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi (R^3+3R^2h+3h^2R+h^3-R^3)= \frac{4}{3}\pi (3R^2h+3h^2R+h^3)$$

По сравнению с $R$ величина $h$ очень мала. Поэтому некоторыми слагаемыми пренебрежем:

$$V=4\pi R^2 h$$

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для озона:

$$p_{atm}V=\frac{ \alpha m_{atm}}{M}RT$$

Подставляем в него все, найденное ранее:

$$\frac{ m_{atm}g }{4\pi R^2}\cdot 4\pi R^2 h=\frac{ \alpha m_{atm}}{M}RT$$

$$h=\frac{ \alpha }{gM}RT=\frac{10^{-5}}{8,2\cdot 0,048}\cdot 8,31\cdot 800=0,168$$

Ответ: 0,168 м