Кристаллическая решетка

Задача 1.

В полупроводниковой промышленности часто используется арсенид галлия — химическое соединение галлия и мышьяка. Структуру в случае $GaAs$ можно представить как две одинаковые взаимно проникающие гранецентрированные решётки атомов $Ga$ и $As$, сдвинутые друг относительно друга на четверть главной диагонали. Элементарная ячейка такой решётки представляет собой куб с ребром $a=0,56533$ нм, внутри которого находятся 14 атомов: по атому в каждой вершине куба и по одному атому на каждой грани куба. Чему равна плотность арсенида галлия?  Атомные массы галлия и мышьяка соответственно 70 и 75 а.е.м. Ответ дать в кг/м$^3$, округлив до десятков.

Решение. Плотность – это масса в объеме. Поэтому, если найдем массу, содержащуюся в одной ячее, определим и плотность. Каждый из угловых атомов галлия принадлежит одновременно восьми ячейкам, то есть на одну ячею в среднем приходится 1 атом. Каждый из 6 атомов в гранях куба одновременно принадлежит двум ячейкам – то есть из этих шести атомов одной ячейке принадлежит шесть «половин» - еще три атома. Таким образом, на одну ячейку приходится 4 атома галлия. Также внутри одной ячейки находятся 4 атома мышьяка:

$$\rho=\frac{m}{V}=\frac{4\cdot 70+4\cdot75}{a^3}=\frac{580\cdot 1,66\cdot 10^{-27}}{0,56533^3\cdot10^{-27}}=5329$$

Ответ: 5330 кг/м$^3$.

Задача 2.

При достижении температуры $910^{\circ}C$ в железе происходит полиморфное превращение: элементарная ячейка его кристаллической решетки из кубической объемноцентрированной превращается в кубическую гранецентрированную — железо из $\alpha$-фазы переходит в $\gamma$-фазу. При этом плотность железа уменьшается на $\varepsilon \approx 2 \%$. Найдите отношение постоянных решеток железа в $\alpha$ и $\gamma$ – фазах. Примечание. Постоянной a кубических решеток называют длину ребра куба элементарной ячейки. В объемноцентрированной решетке ионы железа находятся в вершинах и в центре куба, а в гранецентрированной — в вершинах куба и в центрах каждой из его граней.

Решение. Каждый атом железа, находящийся в одной из вершин куба, одновременно принадлежит восьми элементарным ячейкам, а в центре грани куба — двум ячейкам. Атом же, находящийся в центре куба, принадлежит только одной ячейке. Следовательно, на одну элементарную ячейку кубической объёмноцентрированной решётки приходится $k=8\div 8+1=2$ атома, а на одну элементарную ячейку кубической гранецентрированной решётки $m=8\div 8+6\div 2=4$ атома.

Изменение плотности

$$\varepsilon=\frac{\rho_{\alpha}-\rho_{\gamma}}{\rho_{\alpha}}=1-\frac{\rho_{\gamma}}{\rho_{\alpha}}=0,02$$

Откуда

$$\frac{\rho_{\gamma}}{\rho_{\alpha}}=0,98$$

Вообще постоянная решетки – размер элементарной ячейки. Вот нам и надо найти отношение элементарных объемов.

$$\frac{\rho_{\gamma}}{\rho_{\alpha}}=\frac{m_{\gamma}}{V_{\gamma}}\cdot\frac{V_{\alpha}}{m_{\alpha}}=\frac{V_{\alpha}}{V_{\gamma}}$$

Концентрация атомов, с одной стороны,

$$n_{\gamma}=\frac{N}{ V_{\gamma}}=\frac{ m_{\gamma}\cdot N_A}{M V_{\gamma}}=\frac{\rho_{\gamma} N_A }{M}$$

С другой стороны, концентрация – это число атомов в объеме элементарной ячейки. Поэтому

$$\frac{\rho_{\gamma} N_A }{M}=\frac{m}{ V_{0_{\gamma}}}$$

$$\frac{\rho_{\alpha} N_A }{M}=\frac{k}{ V_{0_{\alpha}}}$$

Следовательно,

$$\frac{ V_{0_{\alpha}}}{ V_{0_{\gamma}}}=\frac{Mk}{\rho_{\alpha} N_A }\cdot \frac{\rho_{\gamma} N_A }{mM}=$$

$$=\frac{k \rho_{\gamma}}{m \rho_{\alpha}}=\frac{k}{m}\cdot\frac{\rho_{\gamma}}{\rho_{\alpha}}=\frac{2}{4}\cdot 0,98=0,49$$

Осталось извлечь из этого отношения корень кубический, ведь

$$\frac{ a_{\alpha}}{ a_{\gamma}}=\sqrt[3]{ \frac{ V_{0_{\alpha}}}{ V_{0_{\gamma}}}}=\sqrt[3]{0,49}=0,788$$

Ответ: отношение постоянных решеток равно 0,788.