Задача про влажный воздух и песок

Задача на тему «влажность», а также тему «состояние идеального газа», использовать будем уравнение Менделеева-Клапейрона, и второй закон Ньютона – задача содержит элементы механики.

Задача. В гладком вертикальном цилиндре под невесомым поршнем при температуре $t=100^{\circ}$ находится воздух с относительной влажностью 20%. На поршень медленно насыпают песок. Чему равна масса песка, насыпанного на поршень, когда объем цилиндра под поршнем уменьшился в 6 раз, а на стенках цилиндра выступила роса массой $m=0,2$ г? Температура постоянна. Атмосферное давление нормальное. Высота поршня над дном сосуде в начале процесса равна $H=2$ м.

Решение.

Давайте рассуждать.  Во-первых, сначала давление в сосуде, очевидно, было атмосферным. Оно создавалось воздухом и паром: их парциальные давления складывались и в сумме были равны атмосферному.

$$p_1=p_0=p_{para}+p_{vozd}$$

Давление пара мы можем найти: ведь насыщенный пар при такой температуре создает атмосферное давление, значит, при относительной влажности в 20% пар создавал давление $0,2p_0$:

$$\varphi=\frac{ p_{para}}{p_0}$$

$$ p_{para}=\varphi \cdot p_0=0,2p_0$$

Тогда, получается, давление воздуха в сосуде в самом начале было равно

$$p_{vozd}=p_0- p_{para}=p_0-0,2p_0=0,8p_0$$

Теперь рассмотрим наш сосуд в конце процесса. Сверху давит песок и атмосфера.

$$p_2=p_0+\frac{Mg}{S}$$

$M$ - масса песка.

Внутри – насыщенный пар (выпала роса) и сжатый воздух. Тогда пар будет создавать давление, равное атмосферному, а воздух согласно закону Бойля-Мариотта (температура не менялась) будет иметь давление

$$ p_{vozd}\cdot V= p_{vozd}’ \frac{V}{6}$$

$$ p_{vozd}’=6 p_{vozd}=6\cdot0,8 p_0=4,8p_0$$

Таким образом,

$$p_2= p_0+\frac{mg}{S}=p_0+4,8p_0$$

Или

$$\frac{Mg}{S}=4,8p_0$$

Дело за малым – найти площадь поршня. У нас еще есть сведения, что выпало 0,2 г росы. То есть вначале процесса для пара можно было записать

$$ p_{para}V=\frac{m_1}{\mu}RT$$

А в конце

$$ p_{para}’\cdot \frac{V}{6}=\frac{m_2}{\mu}RT$$

Здесь $ p_{para}’=p_0$, $\mu$ - молярная масса воды, $m_1$ - масса пара вначале процесса, $m_2$ - масса пара после выпадения росы.

Тогда

$$\Delta m=m_1-m_2=\frac{ p_{para}V \mu}{RT}-\frac{ p_{para}’\cdot \frac{V}{6} \mu}{RT}=\frac{p_0\mu}{RT}\cdot\left(0,2V-\frac{V}{6}\right)= \frac{p_0\mu V}{30RT}=\frac{p_0\mu SH}{30RT}$$

Теперь выразим сечение:

$$S=\frac{30RT\Delta m}{p_0\mu H}$$

Наконец, определяем массу песка:

$$M=\frac{4,8p_0S}{g}=\frac{4,8p_0}{g}\cdot\frac{30RT\Delta m}{p_0\mu H}=\frac{30RT\Delta m \cdot4,8}{g \mu H}=\frac{30\cdot8,31\cdot373\cdot2\cdot10^{-4}\cdot4,8}{10 \cdot0,018\cdot 2}=247,9$$

Ответ: 248 кг песка.