Влажность - олимпиадная подготовка - 3

Задачи на пары и влажность - сложные, олимпиадные. Эта тема вообще плохо дается школьникам.

Задача 1.

В цилиндрическом сосуде под поршнем находится насыщенный водяной пар при температуре $t=95^{\circ}$ C и давлении $p=8,5\cdot 10^4$ Па. В медленном изотермическом процессе уменьшения объема пар начинает конденсироваться, превращаясь в воду. 1. Найти отношение плотности пара к плотности воды в условиях опыта. 2. Найти отношение объема пара к объему воды к моменту, когда объем пара уменьшится в $\gamma=4,7$ раза. Плотность и молярная масса воды известны.

Решение. Плотность пара определим по закону Менделеева-Клапейрона  ($p_n, m_n$ - давление и масса насыщенного пара, $\rho_n$ - плотность насыщенного пара):

$$p_nV=\frac{m_n}{M}RT$$

$$p_n=\frac{\rho_n RT}{M}$$

$$\rho_n=\frac{p_n M}{RT}=\frac{8,5\cdot 10^4\cdot 18\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 368}=0,5$$

Отношение плотностей ($\rho_0$ - плотность воды)

$$\frac{\rho_n}{\rho_0}=\frac{0,5}{1000}=5\cdot 10^{-4}$$

Теперь определим отношение объемов. Так как объем пара уменьшился в 4,7 раза, то масса тоже уменьшилась в 4,7 раза:

$$m_v=m_n-\frac{m_n}{4,7}=\frac{4,7m_n-m_n}{4,7}=\frac{3,7m_n}{4,7}$$

Распишем массы через плотности и объемы:

$$\rho_0 V_0=\frac{3,7}{4,7}\rho_n V_n$$

$$\frac{V_n}{V_0}=\frac{4,7\rho_0}{3,7\rho_n}=\frac{4,7}{3,7\cdot 5\cdot 10^{-4}}=2540$$

Ответ: $\frac{\rho_n}{\rho_0}=5\cdot 10^{-4}$; $\frac{V_n}{V_0}=2540$.

Задача 2.

Поршень делит объем герметичного вертикально расположенного цилиндра на две части. Стенки цилиндра хорошо проводят теплоту. Снаружи цилиндра постоянно поддерживается температура $T=373$ К. Поршень создает своим весом дополнительное давление $p=\frac{p_0}{5}$, где $p_0$ - нормальное атмосферное давление. Под поршнем в объеме $V_0=1$ л находится воздух, над поршнем в объеме $V_0$ - вода массой $m=1,2$ г и водяной пар. Система в равновесии. Цилиндр переворачивают вверх дном. После наступления равновесия под поршнем находятся вода и водяной пар, над поршнем – воздух. 1. Найти объем пара в конечном состоянии. 2. Найти массу воды в конечном состоянии.

Объем воды значительно меньше объема цилиндра, масса воды значительно меньше массы поршня. Трением поршня о цилиндр пренебречь.

К задаче 2

Решение. Так как температура равна $100^{\circ}$ C, то давление пара постоянно и равно $p_0$. Тогда вначале давление воздуха $p_{v1}$ противостоит давлению пара и весу поршня:

$$p_{v1}=p_0+\frac{p_0}{5}=\frac{6}{5}p_0$$

А после поворота давление пара уравновешивает вес поршня и новое давление воздуха $ p_{v2}$:

$$p_0=p_{v2}+\frac{p_0}{5}$$

$$ p_{v2}=\frac{4p_0}{5}$$

pПроцесс изотермический, следовательно,

$$ p_{v1} V_0= p_{v2}(2V_0-V_p)$$

$ V_p$ - объем, занимаемый паром после переворота сосуда.

$$ V_p=\left(2-\frac{ p_{v1} }{ p_{v2} }\right)V_0=\left(2-\frac{6}{4}\right)V_0$$

$$ V_p=\frac{V_0}{2}=0,5\cdot 10^{-3}$$

Или 0,5 л – это ответ на первый вопрос. Ответим на второй. Масса конденсата равна разности масс воды после переворота и до него:

$$m_2-m_1=m_k$$

$$ m_k =m_2-m_1=\rho_p\frac{V_0}{2}=\frac{\mu p_0}{RT}\cdot\frac{V_0}{2}=\frac{18\cdot 10^{-3}\cdot 10^5\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot 373\cdot 2}=2,9\cdot 10^4$$

То есть примерно 0,3 г. Значит,

$$m_2=m_1+m_k=1,2+0,3=1,5$$

Ответ: 1. $ V_p=0,5$ л; 2. $ m_2=1,5$ г.

Задача 3.

Тонкая пробирка частично заполнена водой и расположена вертикально открытым концом вверх, в атмосферу. Вследствие диффузии в пробирке устанавливается линейное изменение концентрации пара с высотой: вблизи поверхности воды пар оказывается насыщенным, а у верхнего открытого конца пробирки его концентрация в три раза меньше. Пробирку сверху закрывают крышкой и увеличивают температуру на $\Delta T=1$ К. На сколько изменится давление влажного воздуха внутри пробирки после установления равновесия по сравнению с атмосферным давлением? Атмосферное давление $p_0=760$ мм рт. ст., начальная температура $T=300$ К, давление насыщенного пара при этой температуре $p_{nas}=27$ мм рт. ст. Известно, что малые относительные изменения давления насыщенного пара $\frac{\Delta p}{p}$ связаны с малыми относительными изменениями его температуры $\frac{\Delta T}{T}$ формулой $\frac{\Delta p}{p}=18\frac{\Delta T}{T}$. Изменением уровня жидкости в пробирке во время опыта пренебречь.

К задаче 3

Решение. Так как пробирка открыта, то в ней давление равно $p_0$. По условию, давление пара меняется линейно (так как линейно меняется плотность, следовательно, и давление). Давление всюду создается суммой давлений пара и воздуха, откуда:

$$p_{v1}=p_0-\frac{p_n}{3}$$

$$p_{v2}=p_0-p_n$$

$ p_n $ - давление насыщенного пара.

Поэтому в середине пробирки давление равно среднему арифметическому двух давлений - $p_{v1}$ и $ p_{v2}$:

$$p_{sred}=\frac{ p_{v1}+ p_{v2}}{2}=p_0-\frac{2}{3}p_n$$

Когда пробирку закрывают, давление пара становится везде одинаковым и равным $p_n$. И тогда давление воздуха тоже везде равно $p_0-\frac{2}{3}p_n$.

Среднее давление воздуха до закрытия пробирки нашли, найдем среднее давление пара:

$$p_{sr_p}=\frac{\frac{p_n}{3}+p_n}{2}=\frac{2}{3}p_n$$

Итак, вначале среднее давление пара было $\frac{2}{3}p_n$, а стало после закрытия - $p_n$. Оно изменилось на:

$$\Delta p_n=p_n-\frac{2}{3}p_n=\frac{1}{3}p_n$$

В целом в пробирке было давление $p_0$, а стало некое $p$, определим его:

$$p=p_0+\frac{1}{3}p_n+\Delta p_v+\Delta p_n~~~~~~~~~(*)$$

Последние два слагаемых возникли из-за повышения температуры. Определим их:

$$\Delta p_v=p_v\frac{\Delta T}{T}$$

$$\Delta p_n=p_n\cdot 18\frac{\Delta T}{T}$$

Перепишем (*):

$$ p-p_0=\frac{1}{3}p_n+\Delta p_v+\Delta p_n$$

$$ p-p_0=\frac{1}{3}p_n+\left(p_0-\frac{2}{3}p_n\right) \frac{\Delta T}{T}+ p_n\cdot 18\frac{\Delta T}{T}$$

$$ p-p_0=\frac{1}{3}p_n+p_0\frac{\Delta T}{T}-\frac{2}{3}p_n\frac{\Delta T}{T}+ p_n\cdot 18\frac{\Delta T}{T}$$

$$ p-p_0=\frac{1}{3}p_n+p_0\frac{\Delta T}{T}+p_n\cdot \frac{52}{3}\frac{\Delta T}{T}$$

$$p-p_0=\frac{1}{3}\cdot 27+760\cdot \frac{1}{300}+\frac{27\cdot 52}{3}\cdot \frac{1}{300}$$

$$p-p_0=13$$

Этот результат получен в мм рт. ст.

Ответ: 13 мм рт. ст.