Влажность

Рассмотрим в этой статье задачи смешанного типа: тут и абсолютная влажность, и относительная, и тепловой баланс понадобится, и даже завуалированный второй закон Ньютона.

Задача 1.

Давление насыщенного водяного пара при температуре $36^{\circ}$ C равно 44,6 мм.рт. ст. Какова масса при этой температуре 1 м$^3$ влажного воздуха при относительной влажности 80% и давлении 1 атм?

Давление пара при данной относительной влажности будет составлять $0,8p_0$. Зная это, можем определить массу пара по уравнению Менделеева-Клапейрона:

$$pV=\nu R T$$

$$pV=\frac{m}{M} R T$$

Переведем давление из мм.рт.ст. в Паскали: $p_0=44,6\cdot 133$.

Тогда масса пара:

$$m_p=\frac{p V M}{RT}=\frac{0,8\cdot 44,6\cdot 133\cdot1\cdot 18\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot (273+36)}=0,033$$

Но мы посчитали только массу пара, а ведь воздух тоже имеет вес. Определим его массу по тому же уравнению:

$$pV=\frac{m}{M} R T$$

$$m_v=\frac{p V M}{RT}=\frac{10^5\cdot1\cdot 29\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot (273+36)}=1,13$$

Сумма масс пара и воздуха:

$$m_p+m_v=0,033+1,13=1,163$$

Ответ: масса влажного воздуха 1,163 кг

Задача 2.

В сосуде объемом 100 л при $30^{\circ}$ C находится воздух с относительной влажностью 30%. Какой будет относительная влажность воздуха в сосуде, если в него ввести 1 г воды и испарить ее при этой температуре?

При такой температуре плотность насыщенного пара равна $\rho_0=30,4$ г/м$^3$. Тогда при относительной влажности 30% плотность пара будет

$$\rho=\varphi \cdot \rho_0=0,3\cdot 30,4=9,12$$

Иными словами, в каждом метре кубическом такого воздуха при таких условиях содержится 9,12 г воды. А у нас не метр, а только 100 л воздуха, следовательно, в этом объеме, который меньше 1 м$^3$ в 10 раз, и воды будет в 10 раз меньше: 0,912 г. Определим теперь новую относительную  влажность воздуха, если мы испарим еще 1 г воды:

$$\varphi_1=\frac{\rho_1}{\rho_0}\cdot 100 \%=\frac{m_1}{V\rho_0}\cdot 100 \%=\frac{(0,912+1)}{0,1\cdot30,4}\cdot 100 \%=63\%$$

Ответ: 63%

Задача 3.

Относительная влажность воздуха, заполняющего сосуд объемом 0,7 м$^3$, при $24^{\circ}$ C равна 60%. Сколько воды нужно испарить в этот объем для полного насыщения пара, если температура остается постоянной?

При такой температуре плотность насыщенного пара равна 21,7 г/м$^3$. Если у нас относительная влажность 60%, то фактическая плотность пара равна

$$\rho=\varphi \cdot \rho_0=0,6\cdot 21,7=13,02$$

Таким образом, в каждом метре содержится 13 г воды. А если бы пар был насыщенным, то содержалось бы 21,7 г – то есть каждому метру кубическому не хватает до насыщения $21,7-13=8,7$ г воды. А у нас не метр, а 0,7 – следовательно, до насыщения не хватает $0,7\cdot 8,7=6,1$ г.

Ответ: 6,1 г

Задача 4.

В запаянной трубке объемом 0,4 л находится водяной пар под давлением 60 мм.рт.ст. при температуре $150^{\circ}$ C. Какое количество росы выпадет на стенках трубки при охлаждении ее до $22^{\circ}$ C?

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\frac{m}{M} R T$$

Откуда $m_1$:

$$m_1=\frac{p_1 V M}{RT_1}=\frac{60\cdot 133\cdot0,4\cdot 10^{-3}\cdot 18\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot (273+150)}=16,3\cdot 10^{-6}$$

Давление насыщенного пара при температуре $22^{\circ}$ - $p_2=19,8$ мм.рт.ст., тогда масса пара $m_2$

$$m_2=\frac{p_2 V M}{RT_2}=\frac{19,8\cdot 133\cdot0,4\cdot 10^{-3}\cdot 18\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot (273+22)}=7,7\cdot 10^{-6}$$

Тогда в виде росы выпадет

$$m_1-m_2=16,3\cdot 10^{-6}-7,7\cdot 10^{-6}=8,6\cdot 10^{-6}$$

Ответ: в виде росы выпадет 8,6 мг воды.

Задача 5.

Под легким поршнем в цилиндре сечением $0,1$ м$^2$ находится 1 кг воды при температуре $0^{\circ}$ C. В воду опускают кусок раскаленного железа массой 1 кг. До какой температуры было нагрето железо, если поршень поднялся после этого на высоту 0,64 м? Атмосферное давление нормальное, теплоотдачей и теплоемкостью цилиндра пренебречь.

Проанализируем, что произошло после того, как опустили железо. Железо остывало, вода нагревалась. Вода закипела, и частично испарилась. Это важно, что частично: тогда, раз она испарилась не вся, то и температура пара не может быть больше $100^{\circ}$ C. Давление пара росло, и он поднял поршень. Объем, который он занял, равен $S\cdot h=0,1\cdot0,64=0,064$ м$^3$. Давление пара равно атмосферному: давление пара противодействовало внешнему. Тогда масса воды, которая превратилась в пар, равна:

$$pV=\frac{m}{M} R T$$

Откуда $m_p$:

$$m_p=\frac{p_0 V M}{RT}=\frac{10^5\cdot0,064\cdot 18\cdot 10^{-3}}{8,31\cdot (273+100)}=37,7\cdot 10^{-3}$$

Составим уравнение теплового баланса.

$$m_{Fe} c_{Fe} (t_{Fe}-100)=m_v c_v (100^{\circ}-0^{\circ})+m_p\lambda$$

Откуда

$$t_{Fe}-100=\frac{ m_v c_v (100^{\circ}-0^{\circ})+m_p\lambda }{ m_{Fe} c_{Fe}}$$

$$t_{Fe}=\frac{m_v c_v (100^{\circ}-0^{\circ})+m_p\lambda }{m_{Fe} c_{Fe}}+100$$

$$t_{Fe}=\frac{1\cdot4200(100^{\circ}-0^{\circ})+37,7\cdot 10^{-3}\cdot2,3\cdot10^6 }{1\cdot 460}+100=1201$$

Ответ: начальная температура железа равна $1201^{\circ}$.