Три разные задачи по МКТ

Задача 1.

В глубинах космоса летает очень большой сосуд, в котором хаотически движутся маленькие стальные шарики, половина которых имеет диаметр $d$, а половина – диаметр $2d$. Шарики упруго сталкиваются между собой и со стенками сосуда, потерь энергии при этом нет. Какие удары происходят чаще - маленьких шариков о маленькие или больших шариков о большие? Во сколько раз? Ответ обоснуйте.

Решение: это модель идеального газа, причем кинетические энергии «молекул» равны. Но размеры отличаются в 2 раза, значит, площади поверхностей (или сечений) отличаются в 4 раза, а объемы – в 8 раз. Таким образом, массы больших шариков в 8 раз больше, чем маленьких, а при равенстве кинетических энергий это означает различие в скоростях в $2\sqrt{2}$раз.

Заметаемый объем можно определить по формуле $V_{zam}=\upsilon \Delta t S$ Тогда

$$V_{zam_{bol}}=\upsilon \Delta t \cdot 4S$$

$$V_{zam_{mal}}=2\sqrt{2}\upsilon \Delta t \cdot S$$

Заметаемый объем у больших шариков больше в $\sqrt{2}$ раз, значит, и столкновений их будет в $\sqrt{2}$  больше.

Ответ: большие сталкиваются с большими чаще, в $\sqrt{2}$ раз.

Задача 2.

В калориметре смешиваются равные по массе объемы воды при температуре $+50^{\circ}$ и льда при температуре $-40^{\circ}$. Какова окончательная температура смеси, если $m_1=m_2=m=200$ г. Теплоемкостью калориметра пренебречь. В ответ записать массу воды в калориметре при установлении теплового баланса.

Решение: нам уже подсказали, что окончательная температура смеси равна нулю, однако убедимся в этом. Вода способна отдать

$$Q_1=cm\Delta t=4200\cdot 0,2\cdot 50=42000$$

Чтобы согреть лед до нуля, потребно:

$$Q_2=c_l m \Delta t_l=2100\cdot 0,2\cdot 40=16800$$

Останется:

$$Q_1-Q_2=42000-16800=25200$$

Эти джоули пойдут на плавление льда:

$$Q_1-Q_2=\lambda m^*$$

$$m^*=\frac{ Q_1-Q_2}{\lambda}=\frac{25200}{330000}=0,076$$

Таким образом, воды в калориметре 276 г – 200 г воды было и 76 г из растаявшего льда.

Ответ: 276 г

Задача 3.

В кастрюлю-скороварку налили немного воды, закрыли герметично и поставили на огонь. К тому моменту, когда вся вода испарилась, температура кастрюли оказалась $115^{\circ}$, а давление внутри - 3 атмосферы. Какую часть объема вначале занимала вода? Начальная температура $20^{\circ}$. Ответ округлить до тысячных.

Решение. Сначала пара было мало, потому что температура воды всего $20^{\circ}$.  Поэтому вначале давление равно атмосферному. Конечное давление (3 атм) складывается из давления воздуха и давления пара:

$$p_{kon}=3p_0=p_{vozd}+p_{para}$$

Давление воздуха легко вычисляется с поощью закона Бойля-Мариотта:

$$ p_{vozd}=\frac{p_0T}{T_0}$$

Давление пара определим из закона Менделеева-Коапейрона:

$$ p_{para} V=\nu RT=\frac{m}{M}RT$$

$$ p_{para} =\frac{m}{M V }RT=\frac{\rho V_{v}}{MV}RT$$

Здесь $V_v$ - объем воды, первоначальный. Подставляем найденные давления воздуха и пара в их сумму:

$$\frac{p_0 T}{T_0}+\frac{\rho V_{v}}{MV}RT=3p_0$$

$$\frac{\rho V_{v}}{MV}RT=3p_0-\frac{p_0 T}{T_0}$$

$$\frac{ V_{v}}{V}=\frac{p_0 M}{\rho RT}\cdot \left(3-\frac{T}{T_0}\right)=\frac{10^5\cdot 0,018}{10^3\cdot 8,31\cdot(115+273)} \cdot \left(3-\frac{115+273}{293}\right)=9,4\cdot 10^{-4}\approx 0,001$$

Объем воды от полного объема составлял, таким образом, одну тысячную часть. 

Ответ: 0,001