Насыщенный пар - 3

В этой статье предлагаю задачи, связанные с таким понятием, как насыщенный пар.

Насыщенный пар -это пар, который находится в состоянии динамического равновесия со своей жидкостью (то есть скорость испарения жидкости равна скорости конденсации пара). При решении задач нужно иметь в виду следующие факты.

Давление и плотность насыщенного пара зависят от его температуры, но не от объёма (при увеличении объёма испаряется дополнительное количество жидкости, при уменьшении объёма конденсируется часть пара).

Давление насыщенного водяного пара при 100 °С примерно равно 1 атм: 10⁵ Па.

При описании состояний ненасыщенного и даже насыщенного пара приближённо работает уравнение Менделеева-Клапейрона.

 

ЗАДАЧА 1. (МФТИ, 1993) Для насыщенного водяного пара вблизи температуры $100^{\circ}$ С малые относительные изменения давления $\frac{\Delta p_H}{p_H}$ и температуры $\frac{\Delta T_H}{T_H}$ связаны формулой $\frac{\Delta p_H}{p_H}=13\frac{\Delta T_H}{T_H}$. При какой температуре закипит вода на высоте Останкинской телебашни $H = 550$ м? Давление воздуха в изотермической атмосфере $p(h)$ с высотой $h$ изменяется по закону $p(h)=p(0)\cdot e^{-\frac{\mu g h}{RT}}$, где $p(0)$ -  нормальное атмосферное  давление у поверхности земли, $\mu = 29$ г/ моль  - средняя молярная масса воздуха, $g= 9,8$ м/ с$^2$ -  ускорение свободного падения, $R= 8,31$ Дж/ (моль  К), $T =273$ К. Указание: при малых $x \ll  1$ имеет место формула ${e}^{-x} \approx 1-x$.
Запишем давление воздуха с учетом приведенного допущения:

$$p(h)=p(0)\cdot e^{-\frac{\mu g h}{RT}}=p(0)(1-\frac{\mu g h}{RT}})$$

Тогда

$$\Delta p=\frac{\mu g h p_0}{RT}}$$

Следовательно,

$$\frac{\Delta p }{ p_0}=\frac{\mu g h }{RT}}=13\frac{\Delta T_H}{T_H}$$

Тогда
$$\Delta T_H=\frac{\mu g h T_H }{13RT}}=\frac{29\cdot10^{-3}\cdot9,8\cdot 550\cdot 373}{13\cdot8,31\cdot273}}=1,977$$

Следовательно, вода закипит при $100^{\circ}-2^{\circ}=98^{\circ}$ градусах.

Ответ: $98^{\circ}$.
ЗАДАЧА 2. (МФТИ, 1997) Насыщенный водяной пар находится в цилиндре под поршнем при температуре 120°С. При медленном изотермическом уменьшении объёма цилиндра пар начинает конденсироваться. К моменту, когда сконденсировалось $m= 5$ г пара, объём, им занимаемый, уменьшился на $\Delta V= 4,5$ л.

• Какая по величине работа была совершена внешней силой в этом процессе?
• Сколько пара было в цилиндре вначале, если в конце опыта вода занимала 0,5% объёма цилиндра?

Из условия задачи понятно, что пар массой 5 г занимал объем 4,5 л. Зная это, давайте определим давление пара:

$$p_1V_1=\frac{m}{M}RT$$

$$ p_1=\frac{m}{MV_1}RT=\frac{0,005}{0,018\cdot4,5\cdot10^{-3}}8,31\cdot (273+120)=201594 $$

Так как пар все время остается насыщенным, то и его давление неизменно. Поэтому можно определить работу внешних сил:

$$A=p_1\Delta V=201594\cdot4,5\cdot10^{-3}=907,2$$

Определим теперь изначальное количество пара. Так как 5 г воды занимают объем, равный 0,5%, это позволяет определить объем пара в конце.

Определим объем 5 г воды:

$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{5\cdot10^{-3}}{1000}=5\cdot10^{-6}$$

Составим пропорцию:

$$V – 0,5\%$$

$$x – 100\%$$

Тогда

$$x=\frac{100V}{0,5}=10^{-3}$$

То есть в конце объем пара – 1 л. Это значит, что вначале его было 5,5 л.

Определим его массу:

$$m_1=\frac{p_1V_0 M}{RT}=\frac{201594\cdot5,5\cdot10^{-3}\cdot18\cdot10^{-3}}{8,31\cdot (273+120)}=6,1\cdot10^{-3}$$

Ответ: 1) $A=907,2$ Дж;  2) начальная масса пара 6,1 г.

ЗАДАЧА 3. (МФТИ, 1997) В цилиндре поршнем с пружиной (см. рисунок) заперт водяной пар в объёме $V = 4$ л. Температура в цилиндре поддерживается постоянной и равной 100 °С. В цилиндр впрыскивается 4 г воды, и поршень начинает перемещаться. После установления равновесия часть воды испарилась, а объём цилиндра увеличился в два раза.

• Какая масса пара была в цилиндре вначале?
• Сколько воды испарилось к концу опыта? Внешнее давление отсутствует, длина недеформированной пружины соответствует положению поршня у дна цилиндра.

Сначала на пар действовала сила упругости

$$F_1=p_1S$$

Следовательно, можно записать:

$$p_1V_1=\nu_1 RT$$

$$\frac{F_1}{S}V_1=\nu_1 RT$$

$$F_1 l=\nu_1 RT~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Затем, когда объем пара вырос вдвое, очевидно, сжатие пружины вдвое увеличилось:

$$F_2=p_2S$$

$$p_2V_2=\nu_2 RT$$

$$\frac{F_2}{S}V_2=\nu_2 RT$$

$$F_2 \cdot2l=\nu_2 RT~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Разделим (2) на (1):

$$\frac{2 F_2 }{ F_1 }=\frac{\nu_2}{\nu_1}$$

$$\frac{2 k\cdot2x }{ kx}=\frac{\nu_2}{\nu_1}$$

Или

$$\frac{\nu_2}{\nu_1}=4$$

Но $\nu_2=\nu_1+\nu_v$, $\nu_v$ - количество вещества, содержащееся в той воде, что испарилась.

$$\nu_v=0,75\nu_2$$

Известно, что не вся вода испарилась, следовательно, в конце пар насыщен. Его давление при  $100^{circ}$ С будет равно атмосферному.

$$p_0V_k=\nu_2RT$$

$$\nu_2=\frac{ p_0V_k }{RT}=\frac{10^5\cdot8\cdot10^{-3}}{8,31\cdot373}=0,258$$

Тогда

$$\nu_v =0,75\nu_2=0,194$$

А масса воды, которая испарилась

$$m_v=\nu_v M=0,194\cdot18\cdot10^{-3}=0,00348$$

То есть испарилось 3,5 г воды.

Зная $\nu_2$, определим массу пара в конце:

$$m_k=\nu_2 M=0,258\cdot18\cdot10^{-3}=4,65\cdot10^{-3}$$

Следовательно, вначале масса пара была $m_0=m_k-m_v=4,65-3,5=1,15$ г.

Ответ: 1) 1,15 г пара было вначале; 2) испарилось 3,5 г воды.

 

ЗАДАЧА 4. (МФТИ, 2005 ) В цилиндре под поршнем находится ненасыщенный водяной пар под давлением р = 1 атм. В процессе изобарического сжатия конечный объём, который занимает пар, уменьшается в $k= 4$ раза по сравнению с объёмом, который он занимал вначале. При этом часть пара конденсируется, а объём образовавшейся воды составляет $\alpha = \frac{1}{1720}$ от конечного объёма пара. Во сколько раз уменьшилась температура пара в указанном процессе? Плотность воды $\rho = 1$ г/см$^3$, молярная масса пара $M = 18$ г/моль.

Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для состояния пара до и после сжатия:

$$pV_1=\nu_1RT_1$$

$$pV_2=\nu_2RT_2$$

Во втором случае

$$p\frac{V_1}{k}=\nu_2RT_2$$

То есть

$$pV_1=k\nu_2RT_2$$

Тогда

$$\nu_1RT_1=k\nu_2RT_2$$

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{k\nu_2}{\nu_1}$$

Количество пара $\nu_2=\nu_1-\nu_v$, $\nu_v$ - количество вещества сконденсированной воды.

$$\nu_v=\frac{m}{M}=\frac{\rho V_v}{M}=\frac{\rho \alpha V_2}{M}=\frac{\rho \alpha V_1}{kM}$$

$$\nu_2=\nu_1-\frac{\rho \alpha V_1}{kM}$$

Определяем отношение температур:

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{k\nu_2}{\nu_1}=\frac{k\nu_1-\frac{\rho \alpha V_1}{M}}{\nu_1}=k-\frac{\rho \alpha V_1}{M\nu_1}=k-\frac{\rho \alpha }{M}\frac{RT_1}{p} $$

Откуда

$$T_1=kT_2-\frac{\rho \alpha }{M}\frac{RT_1}{p}T_2 $$

$$\left(1+\frac{\rho \alpha }{M}\frac{RT_2}{p}\right)T_1=kT_2$$

$$\frac{T_1}{T_2}=\frac{k}{1+\frac{\rho \alpha RT_2}{Mp}}=\frac{4}{1+\frac{10^3\cdot\frac{1}{1720}\cdot8,31\cdot373}{18\cdot10^{-3}\cdot10^5}}=2$$

Ответ: $\frac{T_1}{T_2}=2$

ЗАДАЧА 5. (МФТИ, 2005) В цилиндре под поршнем находится насыщенный водяной пар и вода, при температуре 100 °С. Объём воды составляет $\alpha = \frac{1}{860}$часть объёма, который занимает пар. При изотермическом расширении давление уменьшилось в $\beta = 2$ раза, при этом вся вода
испарилась. Во сколько раз увеличился объём пара? Плотность воды $\rho = 1$ г/см$^3$, молярная масса пара $M = 18$ г/моль.

При расширении пар будет оставаться насыщенным до тех пор, пока не испарится вся вода. При дальнейшем расширении пар перестанет быть насыщенным.  Давление насыщенного пара равно атмосферному. Тогда

$$p_0V_1=\nu RT=\frac{m_p+m_v}{M}RT$$

$$p_0V_1=\frac{m_p+\rho V \alpha}{M}RT~~~~~~~(3)$$

Массу пара найдем, записав для него уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$ p_0V=\frac{m_p}{M}RT$$

$$ m_p=\frac{p_0VM}{RT}$$

Вернемся к (3):

$$ p_0V_1=\frac{m_p}{M}RT+\frac{\rho V \alpha}{M}RT=p_0V+\frac{\rho V \alpha}{M}RT$$

$$ V_1=V+\frac{\rho V \alpha}{Mp_0}RT$$

Далее пар перестает быть насыщенным, он изотермически расширяется, и его давление падает вдвое, а значит, объем вдвое растет:

$$ V_2=2V+\frac{2\rho V \alpha}{Mp_0}RT$$

Откуда

$$\frac{V_2}{V}=2+\frac{2\rho  \alpha}{Mp_0}RT=2+\frac{2\cdot10^3\cdot\frac{1}{860}}{18\cdot10^{-3}\cdot10^5}8,31\cdot373=2+4=6 $$

Ответ: в 6 раз.