Насыщенный пар

В этой статье предлагаю задачи, связанные с таким понятием, как насыщенный пар.

Насыщенный пар -это пар, который находится в состоянии динамического равновесия со своей жидкостью (то есть скорость испарения жидкости равна скорости конденсации пара). При решении задач нужно иметь в виду следующие факты.

Давление и плотность насыщенного пара зависят от его температуры, но не от объёма (при увеличении объёма испаряется дополнительное количество жидкости, при уменьшении объёма конденсируется часть пара).

Давление насыщенного водяного пара при 100 °С примерно равно 1 атм : 10⁵ Па.

При описании состояний ненасыщенного и даже насыщенного пара приближённо работает уравнение Менделеева-Клапейрона.

ЗАДАЧА 1. (МФТИ, 1991 ) Смесь воды и её насыщенного пара занимает некоторый объём при температуре $90^{\circ}$ С. Если смесь нагревать изохорически, то вся вода испаряется при увеличении температуры на $10^{\circ}$ С. Чему равно давление насыщенного водяного пара при $90^{\circ}$ С, если в начальном состоянии масса воды составляла 29% от массы всей смеси? Объёмом воды по сравнению с объёмом смеси пренебречь.
Так как масса воды - 29% от массы всей смеси, то очевидно, что масса пара составляет 71%. При $100^{\circ}$ давление насыщенного пара равно 10⁵ Па. Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для обоих состояний:

$$p_1V=\frac{m_p}{M}RT_1$$

$$p_2V=\frac{m}{M}RT_2$$

$$m_p=0,71m$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{m_p}{m}\cdot\frac{T_1}{T_2}$$

$$p_1=0,71 \frac{T_1 p_2}{T_2}=0,71 \cdot \frac{(90+273)\cdot 10^5}{100+273}=0,69 \cdot10^5$$

Ответ: 0,69 атм.
ЗАДАЧА 2. (МФТИ, 1985) При изотермическом сжатии $m = 9$ г водяного пара при температуре $T = 373$ К его объём уменьшился в 3 раза, а давление возросло вдвое. Найдите начальный объём пара.
При изотермическом процессе должно соблюдаться следующее: во сколько раз меняется давление, во столько же раз изменяется и объем. Но здесь не так. Поэтому делаем вывод, что пар сжимался с изменением давления, пока не стал насыщенным, после чего объем его продолжал уменьшаться, а вот давление уже не менялось. Таким образом, чтобы давление выросло вдвое, объем должен был уменьшиться вдвое же.

$$\frac{p_2}{p_1}=2$$

Теперь запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для насыщенного пара, давление которого нам известно:

$$p_2V_2=\frac{m}{M}RT$$

$$V_2=\frac{m}{M p_2}RT=\frac{0,009}{18\cdot10^{-3}\cdot10^5}8,31\cdot373=15,5\cdot10^{-3}$$

Первоначальный объем больше вдвое: 31 л.

Ответ: 31 л.

ЗАДАЧА 3. (МФТИ, 1996) В сосуде находится ненасыщенный пар. В процессе его изотермического сжатия объём, занимаемый паром, уменьшается в $\beta = 4$ раза, а давление возрастает в $\alpha = 3$ раза. Найти долю пара, которая сконденсировалась в этом процессе.
Аналогично предыдущей задаче, в этой давление изменялось, пока пар не стал насыщенным. То есть объем изменился втрое, после чего давление уже не менялось, так как пар стал насыщенным.

$$V_2=\frac{1}{3}V_1$$

Далее объем менялся с конденсацией пара. Изменени е объема в этом процессе

$$\Delta V=\frac{1}{3}V_1-\frac{1}{4}V_1=\frac{1}{12}V_1=\frac{1}{4}V_2$$

Так как объем с момента, когда пар стал насыщенным, изменился на четверть, то и сконденсировалась $\frac{1}{4}$ часть пара.

Ответ: 0,25

ЗАДАЧА 4. (МФТИ, 1996) В сосуде находятся водяной пар и вода при температуре 100 °С. В процессе изотермического расширения вода начинает испаряться. К моменту, когда она вся испарилась, объём пара увеличился в  $\beta= 10$ раз. Найти отношение объёмов пара и воды в начале опыта.

В начальном состоянии

$$p_1V_1=\frac{m_1}{M}RT$$

$$ V_1=\frac{m_1}{M p_1}RT$$

В конечном состоянии

$$p_2V_2=\frac{m_2}{M}RT$$

При этом $m_2=m_1+m_v$, $m_v$ - масса воды.

Тогда

$$\frac{V_2}{V_1}=\frac{m_2}{m_1}=\frac{ m_1+m_v }{m_1}$$

$$m_v=9m_1$$

С другой стороны,

$$m_v=\rho V_v$$

$$V_v=\frac{m_v}{\rho}=\frac{9m_1}{\rho}$$

Искомое отношение

$$\frac{V_1}{V_v}=\frac{m_1\rho}{9m_1M p_1}RT=\frac{\rho}{9M p_1}RT =\frac{10^3}{9\cdot18\cdot10^{-3}\cdot10^5}8,31\cdot(100+273)=191,33 $$

Ответ: объемы отличались в 191 раз.