И снова про влажность

Задача 1.

В закрытой камере находится $m_1=1$ мг взвеси мельчайших капелек воды и $m_2=100$ мг водяного газа (пара). На сколько процентов возрастёт давление в камере к тому моменту, когда в результате испарения радиус капелек $r$уменьшится на 4%? Считайте, что температура в камере поддерживается постоянной, а диаметр всех капелек одинаков.

Решение. Пусть начальное давление в камере

$$p=\frac{m_2RT}{MV}$$

А после испарения еще дополнительной жидкости

$$p^{\prime}=\frac{(m_2+\Delta m)RT}{MV}$$

$$\Delta p=\frac{\Delta m RT}{MV}$$

$$\frac{\Delta p}{\Delta m}=\frac{p}{m_2}$$

Пусть число капель $N$, их объем $\frac{4}{3}\pi r^3$ Масса капель тогда

$$m_N=N\cdot \rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3$$

Если радиус капли уменьшится в результате испарения, и $R=r-\Delta r$, то

$$m_N^{\prime}= N\cdot \rho\cdot \frac{4}{3}\pi (r-\Delta r)^3=$$

$$= N\cdot \rho\cdot \frac{4}{3}\pi (r^3-3r^2\Delta r+3r\Delta r^2-\Delta r^3)$$

$$m_N^{\prime}= N\cdot \rho\cdot \frac{4}{3}\pi (r^3-3r^2\Delta r)=m_N-\Delta m$$

$$\Delta m= N\cdot \rho\cdot \frac{4}{3}\pi\cdot 3r^2\Delta r$$

$$\Delta m= N\cdot \rho\cdot 4\pi\cdot r^2\Delta r$$

$$\frac{\Delta m}{m_1}=\frac{ N\cdot \rho\cdot 4\pi\cdot r^2\Delta r }{ N\cdot \rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}=\frac{3\Delta r}{r}$$

$$\frac{\Delta p}{p}=\frac{\Delta m}{m_2}=\frac{\Delta m}{m_1}\cdot\frac{m_1}{m_2}=\frac{3\Delta r}{r}\cdot\frac{m_1}{m_2}=3\cdot 0,04\cdot \frac{1}{100}=0,12\%$$

Ответ: 0,12%.

Задача 2.

Сосуд объемом $V=20$ дм$^3$ разделен тонкой подвижной перегородкой на две части. В левую часть помещены 16 г кислорода, а в правую – 27 г воды. При этом поддерживается температура $t=100^{\circ}$C Определите объем правой части сосуда.

Решение. Если температура $t=100^{\circ}$C, то влажность в части сосуда с водой равна 100% и давление такого пара равно атмосферному. Поэтому объем кислорода:

$$V_1=\frac{\nu_0RT}{p_0}=\frac{0,5\cdot 8,31\cdot 373}{10^5}=15,5\cdot 10^{-3}$$

$$V_2=V-V_1=4,5\cdot 10^{-3}$$

Ответ: пар занимает 4,5 л, кислород – 15,5 л.

Задача 3.

Влажный воздух находится в цилиндре под поршнем при температуре $t=100^{\circ}$C  и давлении $p_1=1,2$ атмосферы. Если увеличить давление на поршень в 2 раза в изотермическом процессе, то объем, занимаемый воздухом, уменьшится в 2,5 раза, а на стенках выпадет роса. Найти начальную относительную влажность воздуха в цилиндре. Объемом образовавшейся жидкости пренебречь.

Решение. Пусть искомая влажность $\varphi$ Тогда давление пара вначале - $\varphi p_{nas}$

$$\varphi p_{nas}+p_{suh}=1,2p_0$$

После сжатия пар насыщен, его давление $p_{nas}$. А давление сухого воздуха возросло в 2,5 раза:

$$ p_{nas}+2,5p_{suh}=2,4p_0$$

$$2,5p_{suh}=2,4p_0- p_{nas}$$

$$2,5p_{suh}=2(\varphi p_{nas}+p_{suh})- p_{nas}$$

$$0,5p_{suh}=2\varphi p_{nas}- p_{nas}$$

$$ p_{suh}=4\varphi p_{nas}- 2p_{nas}$$

$$\varphi p_{nas}+4\varphi p_{nas}- 2p_{nas}=1,2p_0$$

$$5\varphi p_{nas}=3,2p_0$$

$$5\varphi=3,2$$

$$\varphi=0,64$$

Ответ: 64%.