Циклы - 2

Задачи, достойные как подготовки к ЕГЭ, так и к олимпиадам!

Задача 1.

С идеальным одноатомным газом проводится циклический процесс, состоящий из процесса 1-2 с линейной зависимостью давления от объема, изобарического сжатия 2-3 и изохорического нагревания 3-1. Известно, что объем в состоянии 2 в три раза больше, чем в состоянии 1. Найдите отношение работы газа в цикле 1-2-3-1 к количеству теплоты, подведенной к газу в изохорическом процессе 3-1.

К задаче 1

Решение. Процесс 3-1 изохорный, поэтому работа в нем равна нулю: $$Q_{31}=\Delta U_{31}=\frac{3}{2}((2\Delta p+p_1)V_1-p_1V_1)=3\Delta p V_1$$

Зависимость давления от объема в процессе 1-2 линейная, поэтому, если бы мы провели вертикаль от точки на оси объемов $2V_1$, она была бы средней линией треугольника 123. А значит, уперлась бы в середину отрезка 12. То есть изменение давления от $V_1$ до $2V_1$ такое же, как и от $2V_1$ до $3V_1$. Обозначим это изменение давления за $\Delta p$. Иными словами, давление от точки 3 до точки 1 будет меняться на $2\Delta p$. За $\Delta V$ примем увеличение объема $2V_1-V_1=3V_1-2V_1=V_1$.

Работу в цикле найдем как площадь треугольника: $$A_{1231}=2\Delta V\cdot 2\Delta p\cdot \frac{1}{2}=2V_1\Delta p$$ И находим отношение: $$\frac{ A_{1231}}{ Q_{31}}=\frac{2V_1\Delta p }{3\Delta p V_1 }=\frac{2}{3}$$ Ответ: $\frac{ A_{1231}}{ Q_{31}}=\frac{2}{3}$.

Задача 2.

Идеальный одноатомный газ в количестве 1 моль совершает работу $A=1845$ Дж в цикле. Цикл состоит из процесса 1-2, в котором теплоемкость газа остается постоянной, процесса 2-3, в котором давление газа является линейной функцией объема, и изохорического нагрева 3-1. Найти молярную теплоемкость газа в процессе 1-2, если известно, что $T_1=1933$ К, $T_2=T_3=1000$ К, $\frac{V_2}{V_1}=3$.

К задаче 2

Решение. $$Q_{12}=C\Delta T_{12}$$ Откуда $$C=\frac{ Q_{12}}{\Delta T_{12}}$$ Все расчеты приведены для одного моля. $$Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}$$ В этом процессе работа отрицательна. Кроме того, так как $ T_2=T_3$, то $\Delta U_{23}=0$, поэтому $$Q_{23}=A_{23}$$ $$A_z=Q_n-Q_x=Q_{13}-Q_{12}-Q_{23}$$ Здесь $Q_{13}$ - тепло, полученное от нагревателя, $ Q_{12}+Q_{23}$ - тепло, отданное холодильнику. Из последнего равенства следует $$Q_{12}= Q_{13}- Q_{23}-A_z=C_v\Delta T_{13}- A_{23}-A_z~~~~~~~~(1)$$ $$A_{23}=\frac{1}{2}(p_2+p_3)(V_2-V_3)=\frac{1}{2}(p_2V_2-p_2V_3+p_3V_2-p_3V_3)$$ Мы знаем, что $V_3=V_1$ и $V_2=3V_1$, перепишем: $$A_{23}=\frac{1}{2}(p_2V_2-p_2\frac{V_2}{3}+3p_3V_3-p_3V_3)$$ $$A_{23}=\frac{1}{2}(\frac{2}{3} p_2V_2+2p_3V_3)= \frac{1}{2}(\frac{2}{3}RT_2+2RT_3)=\frac{1}{3}RT_2+RT_3~~~~~~~~~(2)$$ Подставим (1) в (2): $$Q_{12}=\frac{3}{2}R(T_1-T_3)-\frac{1}{3}RT_2-RT_3-A_z$$ $$ Q_{12}=R\left(\frac{3}{2}T_1-\frac{3}{2}T_3-\frac{1}{3}T_2-T_3\right)-A_z$$ $$ Q_{12}=R\left(\frac{3}{2}T_1-\frac{17}{6}T_3\right)-A_z$$ И, наконец, теплоемкость: $$C=\frac{ R\left(\frac{3}{2}T_1-\frac{17}{6}T_3\right)-A_z }{T_2-T_1}=\frac{ 8,31\left(\frac{3}{2}\cdot 1933-\frac{17}{6}\cdot 1000\right)-1845 }{-933}=1,4$$ Ответ: $C=1,4$ Дж/(моль$\cdot$ К).

Задача 3.

В сосуде объемом 1,5 дм$^3$ находится воздух при температуре $T=290$ К и относительной влажности $\varphi=0,5$. Какое количество росы выпадет при изотермическом уменьшении объема в $n=3$ раза? Плотность насыщенных водяных паров при $T=290$ К равна $\rho_{nas}=14,5$ г/м$^3$. Решение. Сначала уменьшение объема будет происходить в соответствии с изотермой – пар будет «сгущаться». А далее он станет насыщенным и давление его перестанет изменяться. $$p_1=\varphi p_{nas}$$ Для состояния 1 $$p_1V_1=\frac{m_1}{M}RT$$ Для состояния 3 $$p_3V_3=\frac{m_3}{M}RT$$ Деля уравнения, получим: $$\frac{ p_1V_1}{ p_3V_3}=\frac{m_1}{m_3}$$ Далее пар насыщен и $p_2=p_3= p_{nas}$. Тогда подставим в последнее равенство то, что нам известно: $$\frac{\varphi p_{nas} V_1}{p_{nas}\cdot \frac{V_1}{3}}=\frac{m_1}{m_3}$$ $$\frac{m_1}{m_3}=3\varphi$$ $$m_3=\frac{m_1}{3\varphi }$$ Масса конденсата – это разность масс пара в состояниях 1 и 3: $$m_{kond}=m_1-m_3=m_1\left(\frac{3\varphi-1}{3\varphi }\right)$$ $$m_{kond}=\rho_1 V_1\left(\frac{3\varphi-1}{3\varphi }\right)$$ $$m_{kond}=\varphi \rho_{nas} V_1\left(\frac{3\varphi-1}{3\varphi }\right)$$ $$m_{kond}= \rho_{nas} V_1\left(\frac{3\varphi-1}{3}\right)= 14,5\cdot 1,5\cdot 10^{-3}\left(\frac{3\cdot 0,5-1}{3}\right)=3,625\cdot 10^{-3}$$ Ответ: масса конденсата 3,6 мг.