Тепловой баланс: задачки ненулевого уровня, продолжение.

Решаем сложные задачи на тепловой баланс. Сложность  примерно соответствует 30-й задаче ЕГЭ, или простой олимпиаде.

Задача 1.

В закрытом медном калориметре массой 600 г находится 1,0 кг измельченного льда при температуре $-10^{\circ}$ C. В калориметр впустили 200 г пара при температуре $110^{\circ}$ C. Считая, что удельная теплоёмкость водяного пара в пределах от $100^{\circ}$ C до $110^{\circ}$ C составляет 0,40 кал(г $\cdot$ град), определите, какая температура установится в калориметре. (Потерями теплоты пренебречь.)

Решение. Будем решать эту задачу методом «прикидок». То есть определим предельные количества теплоты для каждого процесса и затем их сопоставим.

Для нагрева льда до нуля градусов необходимо количество теплоты

$$Q_1=c_l m_l\Delta t_1=2100\cdot 1\cdot (0-(-10))=21000$$

Для плавления льда необходимо

$$Q_2=m_l\lambda=1\cdot 340000=340000$$

Для нагрева калориметра необходимо (пока греем до нуля)

$$Q_3=c_km_k\Delta t_1=400\cdot0,6\cdot 10=2400$$

Пар может отдать, охлаждаясь (1 кал – это 2,19 Дж):

$$Q_4=c_pm_p\Delta t_2=0,4\cdot2,19\cdot0,2\cdot10=1752$$

Пар может отдать, конденсируясь:

$$Q_5=Lm_p=2300000\cdot0,2=460000$$

Понятно теперь, что пар, остыв и полностью превратившись в воду, отдаст больше теплоты, чем нужно для согрева калориметра и льда и плавления льда. Значит, содержимое калориметра еще и нагреется до некоторой температуры $t_k$, которую нам и надо найти.

Вода, полученная из пара, остывает до $t_k$ и отдает количество теплоты

$$Q_6=c_v m_p(100-t_k)=2400\cdot0,2(100-t_k)=480(100-t_k)$$

Вода, полученная изо льда и калориметр греются до $t_k$

$$Q_7= c_k m_k t_k+ c_v m_l t_k=400\cdot0,6t_k+4200\cdot 1\cdot t_k=4440t_k$$

Составляем уравнение теплового баланса:

$$Q_1+Q_2+Q_3+Q_7=Q_4+Q_5+Q_6$$

$$21000+340000+2400+4440t_k=1752+460000+480(100-t_k)$$

$$4440t_k+480t_k=146352$$

$$t_k=29,4$$

Ответ: конечная температура $29,4^{\circ}$.

Задача  2. В калориметр, содержащий 100 г сухого снега при температуре $-10^{\circ}$ C, впустили 13 г водяного пара при температуре $100^{\circ}$ C. Определите установившуюся в калориметре температуру. В каком состоянии находится вещество в калориметре? Как изменится ответ, если учесть теплоёмкость калориметра? Решите эту задачу для случая, когда масса пара равна 25 г.

Решение: сопоставим возможные количества теплоты:

Снег греется до нуля:

$$Q_1= c_l m_l\Delta t_1=2100\cdot 0,1\cdot (0-(-10))=2100$$

Снег тает:

$$Q_2=m\lambda=0,1\cdot 330000=33000$$

Пар конденсируется:

$$Q_3= Lm_p=2300000\cdot0,013=29900$$

Видим, что тепла, даваемого паром, не хватит на согрев и плавление снега, значит, снег не растает весь, и конечная температура будет равна 0.

Если бы пара было бы 25 г, то

$$Q_4= Lm_p=2300000\cdot0,025=57500$$

Теплота, даваемая паром, покрыла бы  "расходы" на согрев и плавление снега, и вода, полученная изо льда, согрелась бы. Определим, на сколько.

Пусть вода, полученная из пара, остынет до $t_k$:

$$Q_6=cm_p(100-t_k)$$

Уравнение баланса:

$$Q_4+Q_6=Q_1+Q_2+Q_5$$

На нагрев воды, полученной из снега, уйдет:

$$Q_5=cmt_k$$

$$57500+cm_p(100-t_k)=2100+33000+cmt_k$$

Тогда

$$22400+4200\cdot 0,013\cdot (100-t_k)=2400\cdot 0,1 t_k$$

$$22400+54,6\cdot (100-t_k)=240t_k$$

$$22400+5460-54,6t_k=240t_k$$

$$27860=294,6t_k$$

$$t_k=94,6$$

Ответ: конечная температура равна 94,6 градусам.

Задача З. Через воду, имеющую температуру $10^{\circ}$ C, пропускают водяной пар при $100^{\circ}$ C. Сколько процентов составит масса воды, образовавшейся из пара, от массы всей воды в сосуде в момент, когда её температура равна $50^{\circ}$ C?

Решение:

Вода нагреется на $\Delta t_1=40^{\circ}$ C. Пар конденсируется, и полученная из него вода остынет на $\Delta t_2=50^{\circ}$ C. Тогда уравнение баланса будет таким:

$$cm\Delta t_1=Lm_p+cm_p\Delta t_2$$

Найти надо отношение $\frac{m_p}{m+m_p}$.

$$4200 \cdot m\cdot 40=2300000m_p+4200\cdot m_p\cdot 50$$

$$168000 m=2300000m_p+210000 m_p$$

$$ m=14,94m_p$$

Тогда искомое отношение

$$\frac{m_p}{m+m_p}=\frac{m_p}{14,94m_p+m_p}=0,063$$

Ответ: 6,3%