Тепловой баланс на чуть-чуть подумать

Задача 1.

После опускания в воду, имеющую температуру $15^{\circ}$C, тела, нагретого до $100^{\circ}$C, через некоторое время установилась общая температура $65^{\circ}$C. Какой станет температура воды, если, не вынимая первого тела, в неё опустить ещё одно такое же тело, нагретое до $100^{\circ}$C?

Решение. Запишем уравнение теплового баланса для первого тела (тело отдало теплоту, вода приняла)

$$cm\Delta t_1=c_0m_0\Delta t_2$$

Здесь $c$ - теплоемкость тела, $m$ - его масса, $\Delta t_1=100-65=35$ - изменение температуры тела, $c_0$ - теплоемкость воды, $m_0$ - масса воды, $\Delta t_2=65-15=50$ - изменение температуры воды.

И уравнение для опускания второго тела (тело отдало некоторое количество теплоты, а приняли ее вода и первое тело)

$$cm\Delta t_3=c_0m_0\Delta t_4+cm\Delta t_4$$

Где $\Delta t_3=100-t_k$ - изменение температуры второго тела, $\Delta t_4=t_k-65$ - изменение температуры воды при опускании второго тела.

Преобразуем оба:

$$cm(100-65)=c_0m_0(65-15)$$

$$cm(100-t_k)=c_0m_0(t_k-65)+cm(t_k-65)$$

Из первого преобразованного

$$7cm=10c_0m_0$$

Подставим во второе:

$$\frac{10c_0m_0}{7}\cdot (100-t_k)=c_0m_0(t_k-65)+ \frac{10c_0m_0}{7}\cdot (t_k-65)$$

Сокращаем:

$$\frac{10}{7}\cdot (100-t_k)=t_k-65+ \frac{10}{7}\cdot (t_k-65)$$

Домножили на 7:

$$10\cdot (100-t_k)=7t_k-7\cdot 65+ 10\cdot (t_k-65)$$

$$27t_k=1000+17\cdot 65$$

$$t_k=78$$

Ответ: вода нагреется до $78^{\circ}$С.

Задача 2.

Некоторое количество воды нагревается электронагревателем мощностью 500 Вт. При включении нагревателя на время $t_1=5$ мин температура воды повысилась на $\Delta T=1$ К, а при его отключении - понизилась за время $t_2=1$  мин на ту же величину  $\Delta T$. Какова масса $m$ нагреваемой воды, если потери тепла за счет рассеяния в окружающую среду пропорциональны времени? Ответ округлить до сотых.

Решение. При нагревании воды по первому закону термодинамики  (тепло нагревателя пошло на нагрев воды, а также на потери $wt_1$)

$$Wt_1=cm\Delta t+ wt_1$$

При остывании (остывающая вода отдает тепло, это и есть потери)

$$ cm\Delta t=wt_2$$

Подставим

$$Wt_1=wt_2+wt_1$$

$$Wt_1=w(t_2+t_1)$$

$$w=\frac{Wt_1}{ t_2+t_1}$$

Ну и перепишем теперь самое первое уравнение:

$$ cm\Delta t=Wt_1-wt_1=Wt_1-\frac{Wt_1^2}{ t_2+t_1}=Wt_1\left(1-\frac{t_1}{t_1+t_2}\right)=Wt_1\cdot \frac{t_2}{t_1+t_2}$$

Откуда и найдем массу воды:

$$m= Wt_1\cdot\frac{t_2}{ cm\Delta t (t_1+t_2)}=\frac{500\cdot 2\cdot 1\cdot 3600}{4200\cdot 1\cdot 3\cdot 60}=4,76$$

Ответ: воды было 4,76 кг.