Тепловой баланс - из задачника Белолипецкого и Ерковича.

Задача 1.

В кастрюлю налили холодной воды (температура $t_0 = 10^{\circ}C$) и поставили на плиту. Через время $\tau_1 = 10$ мин вода закипела. Через какое время $\tau_2$ она полностью испарится?

Решение. Так как плита отдает одно и то же количество теплоты в единицу времени, то можно сказать, что она отдала $P\tau_1$ Дж, чтобы вода закипела, и $P\tau_2$ Дж, чтобы испарилась. То есть

$$ P\tau_1=c m \Delta t$$

$$ P\tau_2=L m$$

Разделим уравнения, чтобы избавиться от $P$:

$$\frac{\tau_1}{\tau_2}=\frac{ c m \Delta t }{ L m }$$

Откуда

$$\tau_2=\frac{\tau_1 L}{ c \Delta t }=\frac{10\cdot 2300000}{4200\cdot 90}=60,8$$

Ответ: вода испарится примерно через 61 минуту.

Задача 2.

В ведре находится смесь воды со льдом массы $M = 10$ кг. Ведро внесли в комнату. Лед растаял за $\tau_1 = 50$ мин, а еще за $\tau_2 = 10$ мин вода в ведре нагрелась на $\Delta t = 2^{\circ}С$. Определите, какая масса льда $m$ находилась в ведре, когда его внесли в комнату. Теплоемкостью ведра пренебречь.

Решение. Так как в ведре смесь воды со льдом, то температура этой смеси $0^{\circ}C$. Известно, что $m+m_v=M$, где $m_v$ - масса воды. От комнатного воздуха поступает $P$ Дж/с тепла, этот поток постоянен. Поэтому

$$P\tau_1=m \lambda$$

Теперь в ведре вода. Нагреваем ее за  $\tau_2 = 10$ мин на 2 градуса:

$$P\tau_2=c M \Delta t$$

Снова разделим уравнения:

$$\frac{\tau_1}{\tau_2}=\frac{m \lambda }{ c M \Delta t }$$

«Вытащим» $m$:

$$m=\frac{\tau_1 c M \Delta t }{\tau_2\lambda }=\frac{50\cdot 4200\cdot 10 \cdot 2}{50\cdot 340000 }=1,235$$

Ответ: льда было 1 кг 235 г

Задача 3.

В калориметре находится лед. Определите теплоемкость калориметра, если для нагревания его вместе с содержимым от $T_1 = 270$ К до $T_2 = 272$ К требуется количество теплоты $Q_1 = 2,1$ кДж, а от $T_2 = 272$ К до $T_3 = 274$ К — $Q_2 = 69, 7$ кДж.

Решение. Вся соль в температуре. 270 К – это  $-3^{\circ} C$, а 272 К – это $-1^{\circ} C$, то есть в этом диапазоне мы просто греем лед и калориметр. А вот 274 К – это уже положительная температура по шкале Цельсия, то есть в этом интервале температур лед и грелся, и плавился, и полученная из него вода тоже согревалась, а еще ж калориметр  – четыре слагаемых! Имеем:

$$Q_1=c m \Delta t+C\Delta t$$

$m$ - масса льда, $c$ - его удельная теплоемкость, $\Delta t=2^{\circ}C$.

$$Q_2= C\Delta t+ c m \frac{\Delta t}{2}+ m \lambda+2c m \frac{\Delta t}{2}$$

Здесь $2c$ - удельная теплоемкость воды, $\frac{\Delta t}{2}=1^{\circ} C$ - на столько градусов греем сначала лед, а потом воду.

Выразим из первого уравнения $ C\Delta t$ и подставим во второе:

$$ C\Delta t= Q_1-c m \Delta t$$

$$Q_2= Q_1-c m \Delta t + c m \frac{\Delta t}{2}+ m\lambda+2c m \frac{\Delta t}{2}$$

$$Q_2= Q_1 + c m \frac{\Delta t}{2}+ m\lambda$$

Отсюда определим $m$:

$$m=\frac{Q_2-Q_1}{0,5c\Delta t +\lambda }=\frac{67600}{0,5\cdot 2100\cdot 2+340000}=0,198$$

И теперь можно определить теплоемкость калориметра:

$$ C\Delta t= Q_1-c m \Delta t$$

$$C=\frac{Q_1}{\Delta t }-cm=\frac{2100}{2}-2100\cdot 0,198=635$$

Ответ: 635 Дж/К .

Задача 4.

Какую массу $M$ аммиака, взятого при температуре кипения $t_2 = —33, 4^{\circ}C$, надо испарить и нагреть до $t_0 = 0^{\circ}C$ в холодильной машине, чтобы за счет поглощенного количества теплоты получить $m = 40$ кг льда из воды, взятой при температуре $t_1 = 10^{\circ}C$? Удельная теплота парообразования аммиака $L_a = 1,37$ МДж/кг, удельная теплоемкость аммиака $c_a =2,1$ кДж/(кг К).

Решение. Сначала определим, сколько понадобится теплоты отдать воде, чтобы получилось 40 кг льда ($\Delta t_1=t_1-t_0$):

$$Q_{otd}=cm\Delta t_1+\lambda m=4200\cdot 40\cdot 10+340000\cdot 40=15 280 000$$

Такое же количество теплоты и забрал аммиак ($\Delta t_2=t_0-t_2$):

$$Q_{pol}=c_a M \Delta t_2+L_a M$$

$$M=\frac{ Q_{pol}}{ c_a  \Delta t_2+L_a }=\frac{ Q_{otd}}{ c_a  \Delta t_2+L_a }$$

$$M=\frac{ 15 280 000}{ 2100\cdot 33,4+ 1,37\cdot 10^6 }=10,61$$

Ответ: 10,6 кг.