Сохранение энергии в задачах на тепловой баланс (решебник к Добродееву)

11.5.

Автомобиль массой $M = 1200$ кг на горизонтальном пути развивает скорость $\upsilon = 72$ км/ч, расходуя при этом $m=80$ г бензина на $s = 1$ км пути. Какую скорость $\upsilon_x$ разовьет автомобиль при той же мощности на пути с подъемом $h =3,5$ м на каждые $l = 100$ м пути? КПД двигателя $\eta = 28$%. Теплотворная способность бензина $q = 45 $ МДж/кг.

Решение. Во-первых, переведем-ка все в СИ. $\upsilon=20$ м/с, $m=\frac{0,08}{1000}=8 \cdot 10^{-5}$ кг/м. Так как за секунду автомобиль проходит 20 м, то тратит $20\cdot 8 \cdot 10^{-5}=1,6 \cdot 10^{-3}$ кг бензина за 1 с. Или в пересчете на Джоули в секунду

$$Q=qm=45\cdot 10^6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-3}=72000$$

А  это уже мощность – 72 кВт.

Определяем полезную мощность:

$$P_{pol}=\eta P=0,28\cdot 72000=20160$$

Так как автомобиль движется равномерно, то сила трения равна силе тяги.

$$F_{tr}= F_{tyagi}$$

Кроме того,

$$ P_{pol}= F_{tyagi}\upsilon$$

Откуда

$$ F_{tyagi}=\frac{ P_{pol}}{\upsilon }=\frac{20160}{20}=1008$$

С другой стороны, если нарисовать все силы, действующие на автомобиль, то можно написать уравнение по второму закону Ньютона в виде:

$$0= F_{tyagi1}-mg\sin \alpha-F_{tr}$$

Или

$$ F_{tyagi1}=mg\sin \alpha+\mu mg\cos \alpha$$

У нас $\operatorname {tg} \alpha=\frac{3,5}{100}=0.035$. По данному тангенсу найдем арктангенс – то есть угол $\alpha$ - и получим 2 градуса. Тогда

$$ F_{tyagi1}=mg\sin 2^{\circ}+\mu mg\cos 2^{\circ}=12000\cdot 0,035+1008\cdot 0,9994 =1427,4$$

Теперь применим формулу $ P_{pol}= F_{tyagi1}\upsilon_x$ и определим скорость в подъем:

$$\upsilon_x=\frac{ P_{pol}}{ F_{tyagi1}}=\frac{20160}{1427}=14,14$$

Ответ: $\upsilon_x=14$ м/с.

11.6.

Реактивный самолет имеет $n = 4$ двигателя, развивающих силу тяги $F =20$ кН каждый. Сколько керосина израсходуют двигатели во время перелета на расстояние $l =5000$ км? КПД двигателя $\eta = 25$ %. Теплотворная способность  керосина $q = 45$ МДж/кг.

Решение. Общая сила тяги $F_{sum}=80$ кН. Можно рассуждать так:

$$Q_{pol}=Pt=F_{sum}\upsilon t=FS$$

Ну а тепло с другой стороны

$$Q=qm$$

Причем «полезное» тепло

$$Q_{pol}=qm\eta$$

То есть в итоге

$$ qm\eta= F_{sum}S$$

$$m=\frac{ F_{sum}S }{ q\eta }=\frac{80000\cdot 5000000}{45\cdot 10^6\cdot 25}=35500$$

Ответ: 35,5 тонн.

11.7.

Междугородный автобус прошел путь $s = 80$ км за время $t = 1$ ч. Двигатель при этом развил среднюю мощность $P = 70$ кВт при КПД, равном $\eta = 25$ %. Сколько литров $\Delta V$ дизельного топлива, плотность которого $\rho = 800$ кг/м$^3$, сэкономил водитель в рейсе, если норма расхода горючего $V = 40$ л на каждые $l = 100$ км пути? Теплотворная способность топлива $q = 42$ МДж/кг.

Решение. Так как норма 40 л/100 км, а проделано 80, то водитель должен был израсходовать $0,8\cdot 40=32$ литра. Определим реальный расход так же, как это было сделано в предыдущей задаче:

$$Q_{pol}=Pt$$

Ну а тепло с другой стороны

$$Q=qm$$

Причем «полезное» тепло

$$Q_{pol}=qm\eta$$

То есть в итоге

$$ qm\eta= Pt$$

$$m=\frac{ Pt }{ q\eta }$$

$$V_{rash}=\frac{m}{\rho}=\frac{ Pt }{ q\eta \rho}=\frac{ 70000\cdot 3600 }{ 42\cdot 10^6\cdot 0,25\cdot 800 }=0,03$$

Это 30 литров. Тогда

$$\Delta V=V_{dolg}- V_{rash}=32-30=2$$

Ответ: сэкономлено 2 л.

11.8.

Автомобиль массой $m = 4,6$ т трогается с места на подъеме, равном $\alpha = 0,025$, и, двигаясь равноускоренно, за время $t = 40$ с проходит путь $s = 200$ м. Найти расход бензина $V$ (в литрах) на этом участке, если коэффициент сопротивления $k = 0,02$, а КПД двигателя $\eta = 20$%. Плотность бензина $\rho = 700$ кг/м$^3$.

Решение. Определим сначала ускорение автомобиля:

$$S=\frac{at^2}{2}$$

$$a=\frac{2S}{t^2}=\frac{400}{1600}=0,25$$

Уравнение для движения по склону будет таким:

$$ma=F_{tyagi}-F_{sopr}-mg\sin \alpha$$

$$F_{tyagi}=ma+ F_{sopr}+mg\sin \alpha= ma+ kmg+mg\sin \alpha =4600\cdot 0,25+46000\cdot 0,02+46000\cdot 0,025=1150+920+1150=3220$$

Если силу тяги умножить на расстояние, получим полезные Джоули:

$$Q_{pol}= F_{tyagi} S=3220\cdot 200=644000$$

С учетом КПД

$$Q=\frac{ Q_{pol}}{\eta}=\frac{644000}{0,2}=3220000$$

Наконец,

$$Q=qm$$

$$m=\frac{Q}{q}=\frac{3220000}{45\cdot 10^6}=0,072$$

По объему это составит

$$V=\frac{m}{\rho}=\frac{0,072}{700}=0,0001$$

Ответ: 0,1 литра.