Подготовка к олимпиадам: тепловой баланс, 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Рассматриваем тему «тепловой баланс». Тут мы познакомимся с интересным, иногда очень эффективным способом решать задачи – виртуальным тепловым банком, в котором можно как временно занять теплоты, чтобы нагреть (виртуально) все компоненты системы, так и наоборот, охладить все компоненты, и излишек тепла пока что «сдать» в банк.

 

Задача 1.

В ванну с 20 кг воды, имеющей температуру $80^{\circ}$ С добавили 20 кг воды при температуре $20^{\circ}$С. Какая установится температура смеси? Потерь нет.

Это разминочная задача. Понятно: горячая вода отдает тепло холодной и в результате та нагревается:

$$Q_{pol}=Q_{otd}$$

$$c_v m(t_1-t_x)=c_v m (t_x-t_2)$$

$$2t_x=t_1+t_2$$

$$t_x=\frac{t_1+t_2}{2}=\frac{80+20}{2}=50$$

Ответ: $50^{\circ}$.

Задача 2.

В ванну с 20 кг воды, имеющей температуру $80^{\circ}$ С добавили 80 кг воды при температуре $20^{\circ}$С. Какая установится температура смеси? Потерь нет.

Теперь массы разные, но уравнение то же:

$$Q_{pol}=Q_{otd}$$

$$c_v m_1(t_1-t_x)=c_v m_2 (t_x-t_2)$$

$$t_x(m_1+m_2)=m_1t_1+m_2t_2$$

$$t_x=\frac{ m_1t_1+m_2t_2}{ m_1+m_2}=\frac{20\cdot80+80\cdot20}{100}=32$$

Ответ: $32^{\circ}$.

Обратим внимание, как в заключительное выражение температуры вошли с «весовыми коэффициентами» в виде масс. Аналогично можно сразу написать ответ к третьей задаче, если ввести такие же коэффициенты.

Задача 3.

В ванну с 20 кг воды, имеющей температуру $80^{\circ}$ С добавили 40 кг воды при температуре $20^{\circ}$ С и 20 кг воды при температуре $40^{\circ}$ С. Найти температуру смеси. Потерь тепла нет.

Ответ: $t_x=\frac{ m_1t_1+m_2t_2+m_3t_3}{ m_1+m_2+m_3}$.

Однако на олимпиаде такой ответ может лишить вас баллов. Поэтому решаем «по-честному».

$$Q_{pol}=\mid Q_{otd}\mid$$

$$c_v m_1(t_x -t_1)+c_v m_2 (t_x-t_2)+ c_v m_3 (t_x-t_3)=0$$

$$t_x(m_1+m_2+m_3)=m_1t_1+m_2t_2+m_3t_3$$

$$t_x=\frac{ m_1t_1+m_2t_2+m_3t_3}{ m_1+m_2+m_3}=\frac{ 1600+800+800}{ 80}=40$$

Но вот здесь мы поучимся пользоваться виртуальным банком: пусть вся вода остыла до самой низкой температуры - $20^{\circ}$. Тогда вода отдаст тепло $Q$, и мы его пока положим в сторонку – в виртуальный банк.

$$Q= c_v m_1(t_1 -t_2)+c_v m_3 (t_3-t_2)=4200\cdot20\cdot60+4200\cdot20\cdot20=6720000$$

А теперь массу $m_1+m_2+m_3$ согреем этим теплом и посмотрим, какая выйдет температура у этой смеси:

$$( m_1+m_2+m_3)(t_x-t_2)c_v=Q$$

$$t_x=\frac{ Q }{ c_v(m_1+m_2+m_3)}+t_2=\frac{ 6720000 }{ 80\cdot4200}+20=40$$

Ответ: $t_x=40^{\circ}$.

Задача 4.

Какая температура установится в стакане с 200 г воды при $40^{\circ}$ С, если в него поместить кусочек льда массой 10 г при температуре ($-20^{\circ}$) С?

Решим снова с применением метода виртуального банка: берем в нем кредит и согреваем все до температуры $40^{\circ}$:

$$Q=m_l c_l(t_{pl}-t_l)+m_l\lambda+m_lc_v(t-t_{pl})= 0,01\cdot2100(0-(-20))+0,01\cdot340000+0,01\cdot4200\cdot40=420+3400+1680=5500$$

Теперь всю воду, включая ту, что изо льда натаяла, охлаждаем до $t_x$, возвращая банку 5500 Дж теплоты:

$$Q=(m+m_l)c_v(t-t_x)$$

$$t_x=t-\frac{Q}{(m+m_l)c_v}=40-\frac{5500}{4200\cdot0,21}=33,8$$

Ответ: $t_x=33,8^{\circ}$.

 

Задача 5.

В калориметре находится смесь из $m_l=500$ г льда и $m_v=500$ г воды при температуре $0^{\circ}$ С. В калориметр вливают воду массой $m_1=1$ кг при температуре $50^{\circ}$ С. Какая температура установится в нем?

Здесь можно применить метод «прикидок»: посчитать, сколько нужно льду, чтобы он растаял весь, и сможет ли столько дать вода. Таким образом, можно определить, какое состояние имеет система в конце: понятно, что минусовой температуры быть не может, но, возможно, лед не весь растаял.

Но мы применим метод виртуального банка. Нагреем все до максимальной температуры.

$$Q=m_l\lambda+(m_l+m_v)c_v \cdot t=0,5\cdot340000+1\cdot4200\cdot50=380000$$

Это тепло должно выделиться при остывании всей массы до $t_x$:

$$Q=(m_l+m_v+m_1)c_v(t-t_x)$$

$$t_x=t-\frac{Q}{(m_l+m_v+m_1)c_v }=50-\frac{380000}{2\cdot4200}=4,8$$

Ответ: $t_x=4,8^{\circ}$.

 

Задача 6.

В сосуде находится лед массой 1 кг при температуре $–10^{\circ}$ С. В сосуд впускают 0,2 кг пара при температуре $100^{\circ}$С. Какая температура установится в калориметре?

Решаем опять тем же методом виртуального банка: охладим пар до температуры льда:

$$Q=m_p(L+c_v(t_p-t_{pl})+\lambda+c_l(t_{pl}-t_l))=0,2(2300\cdot10^3+4200\cdot100+340\cdot10^3+2100\cdot10)=616,2\cdot 10^3$$

Пускаем теперь это тепло на нагрев, греем всю массу до нуля:

$$Q_1=(m_l+m_p)c_l(t_{pl}-t_l)=1,2\cdot2100\cdot10=25,2\cdot10^3$$

Плавим всю массу:

$$Q_2=\lambda(m_l+m_p)=1,2\cdot340000=408\cdot10^3$$

На нагрев до 100 не хватит, поэтому определяем температуру смеси:

$$(m_p+m_l)c_v(t_x-t_{pl})=Q-Q_1-Q_2$$

$$t_x=\frac{ Q-Q_1-Q_2}{(m_p+m_l)c_v }=\frac{ 616,2-25,2-408}{1,2\cdot4200}=36,3$$

Ответ: $t_x=36,3^{\circ}$.

Задача 7.

В лаборатории в четырех стаканах находилась разное количество одинаковой жидкости при разных температурах. После проведения эксперимента связанного с переливанием и смешиванием, в трех стаканах оказалось другое количество жидкости при новых температурах. Сколько и при какой температуре осталось жидкости в четвертом стакане? Теплоемкостью стаканов, потерями жидкости и теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Сначала сравниваем массы:

$$13,5m=x+9m$$

$$x=4,5m$$

Применяем метод виртуального банка, охлаждаем все до $10t$:

$$Q=3m c\cdot 10t+2m c \cdot 70t+5m c\cdot20t=270 mc t$$

Этим теплом греем указанные на рисунке массы:

$$Q=4m c \cdot5 t+m c \cdot 50t+4m c\cdot15 t+4,5m c\cdot x$$

$$4,5m c\cdot x=185mct$$

$$x=41t$$

Ответ: $41t$

Задача 8.

Сколько льда может получиться из m = 1 кг переохлаждённой до t = $–10^{\circ}$С воды? Теплоёмкость обычной и переохлаждённой воды одинаковая.

И здесь метод виртуального банка поможет: греем воду до нуля и указанное тепло «тратим» на образование льда:

$$c_v m (t_{pl}-t_l)=m_l\lambda$$

$$m_l=\frac{ c_v m (t_{pl}-t_l)}{ \lambda }=\frac{4200\cdot1\cdot10}{340000}=0,123$$

Ответ: 123 г.

Задача 9.

Из ведра налили в кастрюлю некоторое количество воды, затем поставили кастрюлю на нагреватель и через 30 минут вода в ней закипела. Тогда из того же ведра зачерпнули еще некоторое количество воды и долили в кастрюлю. При этом температура воды в кастрюле понизилась на $12^{\circ}$ С. Через 5 минут после этого вода в кастрюле закипела. Какова температура воды в ведре. Теплообмен воды с внешней средой не учитывать.

Задача решена в этой статье. Ответ: $16^{\circ}$.

Задача 10.

Ванну, ёмкостью 85 л необходимо заполнить водой, имеющей температуру $30^{\circ}$С, используя воду при $80^{\circ}$ С и лёд при температуре $-20^{\circ}$ С. Определите массу льда, который следует положить в ванну. Удельная теплота плавления льда 336 кДж/кг, удельная теплоёмкость льда 2100 Дж/кг К, удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/кг К.

Общая масса воды со льдом – 85 кг. Поэтому  $m_l+m_v=85$. Тогда

$$(m-m_l)c_v(t-t_k)=m_lc_l(t_{pl}-t_l)+m_l\lambda+m_l c_v(t-t_{pl})$$

$$m_l(c_l(t_{pl}-t_l) +\lambda+c_v(t-t_k)+c_v(t-t_{pl}))=m c_v(t-t_k)$$

$$m_l=\frac{85\cdot4200\cdot50}{2100\cdot20+340000+4200\cdot50+4200\cdot30}=24,86$$

Ответ: приблизительно 25 кг.