Задача Сириуса про пористую перегородку и адиабатный процесс

Задача.

Теплоизолированный цилиндрический сосуд, закрытый с одной стороны поршнем, разделён на две равные части объёма $V=2$ л пористой перегородкой. Пространство между поршнем и перегородкой заполнили идеальным одноатомным газом при температуре $T_0=300$ К, вторую половину сосуда откачали (см. рис.). Газ постепенно просачивается через перегородку, при этом поршень передвигают так, чтобы обеспечить постоянство давления газа в левой половине сосуда.

Рисунок к задаче

Каким станет объём газа в левой части сосуда к моменту выравнивания давлений по обе стороны от перегородки? Ответ дайте в л, округлив до десятых. Теплообменом между газом и материалом перегородки пренебрегите.

Решение.  Долго я не могла решить, пока не порассуждала спокойно. В левой части уменьшается количество вещества, объем тоже уменьшается, а давление – нет. Значит, наверное, температура остается той же. В правой части сосуда окончательно количество вещества меньше изначального. А объем и давление те же! Значит, температура должна быть выше $T_0$. Поршень совершил работу (внешние силы). Иначе бы при написании закона сохранения энергии возникло бы противоречие. Итак, пусть объем левой части (искомый) $V_x$. Тогда работа поршня:

$$A_{vnesh}=p_0(V-V_x)$$

Внутренняя энергия газа до:

$$U_0=\frac{3}{2}\nu R T_0$$

Внутренняя энергия газа в левой части после завершения процесса:

$$ U_1=\frac{3}{2}\nu_x R T_0$$

Внутренняя энергия газа в правой части после завершения процесса:

$$ U_2=\frac{3}{2}(\nu-\nu_x) R T_2$$

$\nu_x$ - то количество вещества, которое осталось в левой части сосуда, $T_2$ - новая температура в правой части, большая, чем $T_0$.

Составляем уравнение по закону сохранения энергии:

$$ A_{vnesh}+ U_0= U_1+ U_2$$

Тут думается про работу газа, что газ окончательно занял больший объем, чем первоначальный. Но сосуд теплоизолирован, процесс адиабатный и работа учтена через изменение внутренней энергии.

$$ p_0(V-V_x)+ \frac{3}{2}\nu R T_0= \frac{3}{2}\nu_x R T_0+\frac{3}{2}(\nu-\nu_x) R T_2$$

$$ p_0V-p_0V_x+ \frac{3}{2}\nu R T_0= \frac{3}{2}\nu_x R T_0+\frac{3}{2}(\nu-\nu_x) R T_2$$

По закону Менделеева-Клапейрона

$$p_0V=\nu R T_0$$

А

$$p_0V_x=\nu_x RT_0$$

Тогда

$$ \nu R T_0+ \frac{3}{2}\nu R T_0= p_0V_x+\frac{3}{2}\nu_x R T_0+\frac{3}{2}(\nu-\nu_x) R T_2$$

$$\frac{5}{2}\nu R T_0= \frac{5}{2}\nu_x R T_0+\frac{3}{2}(\nu-\nu_x) R T_2 $$

$$\frac{5}{2}\nu R T_0-\frac{5}{2}\nu_x R T_0=\frac{3}{2}(\nu-\nu_x) R T_2$$

$$\frac{5}{2}R T_0(\nu-\nu_x)=\frac{3}{2}(\nu-\nu_x) R T_2$$

Сокращаем:

$$\frac{5}{2} T_0=\frac{3}{2} T_2$$

$$5T_0=3T_2$$

$$T_2=500$$

Тогда

$$p_0V=\nu R T_0=(\nu-\nu_x) RT_2=(\nu-\nu_x) R \frac{5}{3}T_0$$

Откуда

$$\nu=\frac{5}{3}(\nu-\nu_x)$$

$$5\nu_x=2\nu$$

$$\nu_x=0,4\nu$$

Откуда объем

$$V_x=0,4V=0,4\cdot 2=0,8$$

Ответ: $V_x=0,8$ л.