Сохранение энергии, адиабатный процесс. Задачи Сириуса

Задача 1.

В длинной горизонтальной теплоизолированной трубе между двумя одинаковыми не проводящими тепло поршнями массой 100 г каждый находится воздух в количестве 0,1 моль при температуре $20^{\circ}$ C. В начальный момент поршни сближаются, причем скорости поршней направлены в одну сторону и равны 30 м/с и 10 м/с.
До какой максимальной температуры нагреется газ? Массой газа по сравнению с массой поршней пренебрегите. Трение поршней о стенки цилиндра и атмосферное давление не учитывайте. Ответ выразите в $^{\circ}$ C, округлив до десятых.
Воздух считайте идеальным двухатомным газом. Универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(К⋅моль).

Решение. Поршни будут сближаться до того момента, пока скорости поршней не сравняются. Вопрос: какой будет скорость поршней при этом?

Здесь можно применить закон сохранения импульса:

$$m\upsilon_1+m\upsilon_2=2m\upsilon$$

$$\upsilon=\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}=\frac{30+10}{2}=20$$

Теперь можно записать закон сохранения энергии, помня, что воздух – двухатомный газ.

$$\frac{5}{2}\nu R\Delta T=\frac{m\upsilon_1^2}{2}+\frac{m\upsilon_2^2}{2}+\frac{m\upsilon_1^2}{2}-\frac{2m\upsilon^2}{2}$$

$$5\nu R\Delta T= m\upsilon_2^2+ m\upsilon_1^2- 2m\upsilon^2$$

$$\Delta T=\frac{ m\upsilon_2^2+ m\upsilon_1^2- 2m\upsilon^2}{5\nu R }=4,8$$

$$t_x=t_0+\Delta T=24,8^{\circ} C$$

Ответ: $t_x=24,8^{\circ} C$.

Задача 2. Для получения газов при сверхвысоких температурах и давлениях иногда применяется установка, состоящая из закрытого с одного конца цилиндра-ствола и поршня-пули, влетающей в цилиндр с открытой стороны. При хорошей обработке ствола и пули удается добиться малой утечки газа через зазор. Благодаря очень высоким температурам сильно сжатые газы в этих условиях еще можно считать идеальными.

Оцените верхний предел температуры $T$ и давления $p$ аргона, подвергнутого сжатию в такой установке, если пуля массой $m=100$ г влетает в ствол, имеющий объем $V_0=200$ см$^3$, с начальной скоростью $\upsilon=100$ м/с. Начальные температура и давление соответственно равны $T_0=300$ K и $p_0=10^5$ Па. При оценке утечкой газа и потерями на трение пренебрегите.
Считайте процесс квазистатическим. Универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(К⋅моль). Температуру выразите в $10^3$ К, округлив до десятых. Давление выразите в тысячах атмосфер, округлив до десятых.

Решение. Аргон – газ одноатомный, $i=3$, $\gamma=\frac{5}{3}$. Газ будет окончательно сжат при скорости поршня-пули, равной нулю.

$$\frac{m\upsilon^2}{2}=\frac{3}{2}\nu R \Delta T$$

Из уравнения Менделеева Клапейрона определяем произведение $\nu R$, чтобы подставить его в закон сохранения энергии:

$$p_0V_0=\nu RT_0$$

$$\nu R=\frac{ p_0V_0}{T_0}=\frac{10^5\cdot 200\cdot 10^{-6}}{300}=\frac{2}{30}$$

$$ m\upsilon^2=3\nu R \Delta T$$

$$\Delta T=\frac{ m\upsilon^2}{3\nu R }=\frac{0,1\cdot 10^4}{3\cdot \frac{2}{30}}=5000$$

Из уравнения адиабаты определим новый объем:

$$T_1V_0^{\gamma-1}= T_2V^{\gamma-1}$$

$$300 V_0^{\frac{2}{3}}= 5300 V^{\frac{2}{3}}$$

$$\left(\frac{V_0}{V}\right)^ {\frac{2}{3}}=\frac{53}{3}$$

Или

$$\log_x \frac{53}{3}=\frac{2}{3}$$

Где $x=\frac{V_0}{V}$.

Чтобы решить, перейдем к натуральным логарифмам (можно и к десятичным – это совершенно неважно):

$$\frac{\ln \frac{53}{3}}{\ln x}=\frac{2}{3}$$

$$\ln x=4,28$$

$$x=\frac{V_0}{V}=e^{4,28}=72,7$$

Тогда

$$\frac{p_0V_0}{T_0}=\frac{pV}{T}$$

$$p=\frac{p_0V_0T}{VT_0}=\frac{10^5\cdot 72,7\cdot 5300}{300}=128 436 666$$

Ответ: $T=5,3\cdot 10^3$ К, $p=1,3\cdot 10^3$ атм.