Адиабаты (решебник задачника Добродеева)

11.11.

Поршень массой $М$, замыкающий объем $V_0$ с одноатомным газом при давлении $р_0$ и температуре $Т_0$ движется со скоростью $u$. Оценить температуру $Т$ и объем $V$ газа при максимальном сжатии. Система теплоизолирована, теплоемкостями поршня и сосуда пренебречь.

Рисунок из задачника Добродеева к задаче 1

Решение. Запишем закон сохранения энергии. Очевидно, что при максимальном сжатии поршень будет покоиться.

$$\frac{Mu^2}{2}+\frac{3}{2}p_0V_0=\frac{3}{2}pV$$

$$p_0V_0=\nu RT_0$$

Поэтому

$$Mu^2+3p_0V_0=3pV$$

$$ Mu^2+3\nu RT_0=3\nu RT$$

Откуда

$$T=T_0\left(1+\frac{Mu^2}{3p_0V_0}\right)$$

Теперь надо объем отыскать. При этом вспомним, что процесс вследствие хорошей теплоизоляции адиабатный. Тогда

$$TV^{\gamma-1}=const$$

Или

$$T_0V_0^{\gamma-1}=TV^{\gamma-1}$$

Для одноатомного газа

$$\gamma=\frac{c_p}{c_v}=\frac{i+2}{i}=\frac{5}{3}$$

$$\gamma-1=\frac{2}{3}$$

Тогда

$$T_0V_0^{\frac{2}{3}}=TV^{\frac{2}{3}}$$

Перепишем:

$$\left(\frac{V}{V_0}\right)^{\frac{2}{3}}=\frac{T_0}{T}$$

Возводим в степень $\frac{3}{2}$:

$$\frac{V}{V_0}=\left(\frac{T_0}{T}\right)^{\frac{3}{2}}$$

$$\frac{V}{V_0}=\left(\frac{1}{1+\frac{Mu^2}{3p_0V_0}}\right)^{\frac{3}{2}}$$

Ответ: $T=T_0\left(1+\frac{Mu^2}{3p_0V_0}\right)$, $V=\left(\frac{1}{1+\frac{Mu^2}{3p_0V_0}}\right)^{\frac{3}{2}}\cdot V_0$

 

11.12.

В каком случае КПД цикла Карно повысится больше: при увеличении температуры нагревателя на $\Delta T$ или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину?

Решение. Можно, конечно, крутить формулы так и эдак, но проще взять конкретные значения, верно? Пусть $T_{hol}=300$ К, $T_{nagr}=500$ К, $\Delta T=100$ К. Тогда

$$\eta_0=\frac{ T_{nagr}- T_{hol}}{ T_{nagr}}=\frac{200}{500}=0,4$$

Если увеличить температуру нагревателя, то

$$\eta_1=\frac{ T_{nagr}+\Delta T - T_{hol}}{ T_{nagr}+\Delta T }=\frac{300}{600}=0,5$$

Если уменьшить температуру холодильника, то

$$\eta_2=\frac{ T_{nagr} – (T_{hol}-\Delta T) }{ T_{nagr}}=\frac{300}{500}=0,6$$

Ответ: при уменьшении температуры холодильника.

11.13.

Водород совершает цикл Карно. Найти КПД цикла, если при адиабатическом расширении: а) объем газа увеличивается в $n = 2$ раза; б) давление уменьшается в $n = 2$ раза.

Решение. Для адиабатического процесса можно использовать следующие соотношения:

$$pV^{\gamma}=const$$

$$TV^{\gamma-1}=const$$

И уравнение Пуассона

$$p^{1-\gamma}T^{\gamma}=const$$

Тогда, согласно второму уравнению,

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{ \gamma-1}$$

Или

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(n\right)^{1- \gamma}$$

Тогда КПД:

$$\eta_1=1-\frac{T_2}{T_1}=1- n^{1- \gamma}=1-2^{1-\frac{7}{5}}=1-0,758=0,242$$

Во втором случае

$$p_1V_1^{\gamma}= p_2V_2^{\gamma}$$

$$\frac{p_1}{p_2}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma}$$

Или

$$\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\gamma}}$$

По ранее использованному

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$$

Тогда

$$\eta_2=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{ \frac{0,4}{1,4}}=0,18$$

Ответ: в первом случае КПД 24%, во втором – 18%.

11.14.

Найти КПД цикла $\eta$, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если в пределах цикла объем идеального газа изменяется в $n = 10$ раз. Рабочим веществом является азот.

Решение. Смотрим предыдущие задачи:

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{ \gamma-1}$$

Или

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(n\right)^{1- \gamma}$$

Тогда КПД ($\gamma=1,4$):

$$\eta=1-\frac{T_2}{T_1}=1- n^{1- \gamma}=1-10^{1-\frac{7}{5}}=0,6$$

Ответ: 60%

11.15.

Найти КПД цикла $\eta$, состоящего из двух изобар и двух адиабат, если в пределах цикла давление изменяется в $n$ раз. Рабочим веществом является идеальный газ с показателем адиабаты $\gamma$.

Решение.

$$p_1V_1^{\gamma}= p_2V_2^{\gamma}$$

$$\frac{p_1}{p_2}=\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma}$$

Или

$$\frac{V_2}{V_1}=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{1}{\gamma}}$$

По ранее использованному

$$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$$

Тогда

$$\eta=1-\left(\frac{1}{n}\right)^ {\frac{\gamma-1}{\gamma}}$$

Или

$$\eta=1-n^ {\frac{1-\gamma}{\gamma}}$$

Ответ: $\eta=1-n^ {\frac{1-\gamma}{\gamma}}$.

11.16.

Состояние моля идеального газа изменялось вначале по изохоре12, а затем по изобаре 23. При этом газ совершил работу $А$. Известно, что температура в конечном состоянии 3 равна температуре в состоянии 1 Определить отношение $n$ давлений в состояниях 1 и 2, если температура в состоянии 2 равна $T_2$.

Рисунок из задачника Добродеева к задаче 11.16

Решение. Так как 23 – изобара, то

$$A_{23}=\nu R (T_3-T_2)$$

Или

$$ T_3-T_2=\frac{A}{\nu R}$$

$$T_3= T_2+\frac{A}{\nu R}$$

Для изохорного процесса 12 справедлив закон Шарля:

$$\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}$$

Или

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{T_1}{T_2}=\frac{T_3}{T_2}$$

$$\frac{p_1}{p_2}=1+\frac{A}{\nu R T_2}$$

Ответ: $\frac{p_1}{p_2}=1+\frac{A}{\nu R T_2}$